Considere as séries abaixo, verifique a convergência ou a divergência de cada uma delas:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas, em particular o critério de p‐séries, segundo o qual
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Nesta série temos p=2. Como 2>1, pela aplicação direta do critério de p‐séries concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge.

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