Utilizando os teoremas de derivação, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}+2 x^{3}}}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}+2x^{3}}}{x-1}.
Para resolver, vamos usar a regra do quociente, a regra da cadeia e as derivadas básicas de funções polinomiais e de raiz.

Passo 2

Definimos
g(x)=\sqrt{u(x)},\quad u(x)=1+x^{2}+2x^{3},
e
h(x)=x-1.
Pela regra da cadeia,
g'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} \quad\text{com}\quad u'(x)=2x+6x^{2}=2x(1+3x).
Assim,
g'(x)=\frac{2x(1+3x)}{2\sqrt{1+x^{2}+2x^{3}}} =\frac{x(1+3x)}{\sqrt{1+x^{2}+2x^{3}}}.

Passo 3

A derivada de h(x) é imediata:
h'(x)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente
f'(x)=\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{[h(x)]^{2}},
substituímos g, g' e h:
f'(x) =\frac{\displaystyle \frac{x(1+3x)}{\sqrt{1+x^{2}+2x^{3}}}\,(x-1) -\sqrt{1+x^{2}+2x^{3}}\cdot1} {(x-1)^{2}}.

Passo 5

Para simplificar o numerador, colocamos tudo sobre o mesmo denominador \sqrt{1+x^{2}+2x^{3}}:
\text{num} = x(1+3x)(x-1)\;-\;\bigl(1+x^{2}+2x^{3}\bigr) = \bigl(3x^{3}-2x^{2}-x\bigr)-\bigl(1+x^{2}+2x^{3}\bigr) = x^{3}-3x^{2}-x-1.
Logo
f'(x) =\frac{x^{3}-3x^{2}-x-1}{(x-1)^{2}\,\sqrt{1+x^{2}+2x^{3}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{3}-3x^{2}-x-1}{(x-1)^{2}\sqrt{1+x^{2}+2x^{3}}}.

Exercícios relacionados