Utilizando os teoremas de derivação, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x^{2} \ln (x)+\frac{\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}\right)}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{2}\ln(x)+\frac{\ln\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)}{x}.
Estamos em cálculo diferencial, vamos usar:
  1. Regra do produto para derivar x^{2}\ln(x).
  2. Simplificação de logaritmo \ln(\sqrt{1+x^{2}})=\tfrac12\ln(1+x^{2}).
  3. Regra do produto (ou quociente) para derivar \tfrac{1}{x}\ln(\sqrt{1+x^{2}}).

Passo 2

Derivada do primeiro termo x^{2}\ln(x). Aqui aplicamos a regra do produto com u=x^{2} e v=\ln(x).
u'=2x, \quad v'=\frac{1}{x}.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\ln(x)\bigr) = u'v + u\,v' = 2x\ln(x) + x^{2}\cdot\frac{1}{x} =2x\ln(x) + x.

Passo 3

Reescrevemos o segundo termo tirando o radical do logaritmo:
\frac{\ln\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)}{x} =\frac{1}{x}\cdot\frac12\ln(1+x^{2}) =\frac{1}{2x}\ln(1+x^{2}).

Passo 4

Derivada de \frac{1}{2x}\ln(1+x^{2}). Chamamos
u=\frac{1}{2x},\quad v=\ln(1+x^{2}).
Temos
u'=-\frac{1}{2x^{2}}, \quad v'=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{2x}\ln(1+x^{2})\Bigr) = u'v + u\,v' = -\frac{1}{2x^{2}}\ln(1+x^{2}) + \frac{1}{2x}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}.
Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{2x}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} =\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Somando as duas partes, a derivada de f(x) é
f'(x) = \bigl(2x\ln(x) + x\bigr) + \Bigl(-\tfrac{1}{2x^{2}}\ln(1+x^{2}) + \tfrac{1}{1+x^{2}}\Bigr).
Ou seja,
f'(x) =2x\ln(x) + x - \frac{\ln(1+x^{2})}{2x^{2}} + \frac{1}{1+x^{2}}.

Resposta

f'(x) =2x\ln(x) + x - \frac{\ln(1+x^{2})}{2x^{2}} + \frac{1}{1+x^{2}}.

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