Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \sqrt{4-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{4-2 x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sqrt{4-2x}, que equivale a (4-2x)^{1/2}.
  • Queremos uma primitiva (integração indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\sqrt{4-2x}.
  • Devemos apresentar a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: usar substituição para simplificar a raiz. A ideia da substituição é trocar a expressão interna 4-2x por uma nova variável para transformar a integral numa potência simples. Definimos a nova variável
u = 4-2x.
Aqui u representa exatamente o conteúdo que está dentro da raiz; isso facilita, porque a raiz vira u^{1/2}.

Passo 3

Calcular a diferencial du para substituir dx. Diferenciando u em relação a x obtemos
du = \frac{d}{dx}(4-2x)\,dx = -2\,dx.
Isolando dx obtemos
dx = -\frac{1}{2}\,du.
Explicação curta: isso nos diz como trocar o elemento de integração dx por du quando mudamos a variável.

Passo 4

Substituir u e dx na integral. Temos
\int \sqrt{4-2x}\,dx = \int u^{1/2}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = -\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.
Agora a integral é uma potência simples de u, pronta para aplicar a regra de potências para integrais.

Passo 5

Aplicar a regra de potências para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+C = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo fator externo -\tfrac{1}{2} obtemos
-\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = -\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = -\frac{1}{3}u^{3/2}+C.

Passo 6

Voltar à variável original x substituindo u=4-2x. Assim a primitiva encontrada é
F(x) = -\frac{1}{3}(4-2x)^{3/2}+C.
Comentário pedagógico: é sempre bom checar derivando. Usando a regra da cadeia,
F'(x) = -\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(4-2x)^{1/2}\cdot(-2) = (4-2x)^{1/2},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{1}{3}(4-2x)^{3/2}+C

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