Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
, que equivale a . - Queremos uma primitiva (integração indefinida), ou seja, uma função
tal que . - Devemos apresentar a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia: usar substituição para simplificar a raiz. A ideia da substituição é trocar a expressão interna
por uma nova variável para transformar a integral numa potência simples. Definimos a nova variável
Aqui
representa exatamente o conteúdo que está dentro da raiz; isso facilita, porque a raiz vira
.
Passo 3
Calcular a diferencial
para substituir
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Isolando
obtemos
Explicação curta: isso nos diz como trocar o elemento de integração
por
quando mudamos a variável.
Passo 4
Substituir
e
na integral. Temos
Agora a integral é uma potência simples de
, pronta para aplicar a regra de potências para integrais.
Passo 5
Aplicar a regra de potências para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator externo
obtemos
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Comentário pedagógico: é sempre bom checar derivando. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.