Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A função a ser integrada é um produto de polinômios em
. - Trata-se de uma integral indefinida (sem limites), então o resultado deverá conter uma constante de integração
. - Não há termos do tipo
soltos que sugiram diretamente uma substituição simples do tipo sem ajustes.
Passo 2
Escolha do método: temos duas opções naturais que aparecem para polinômios assim:
- Tentar uma substituição como
. Isso gera , ou seja, aparece um fator que não está presente no integrando original, então a substituição não simplifica direto. - Expandir o polinômio
, multiplicar por e integrar termo a termo. Como tudo é polinomial, essa segunda opção é direta e simples — é a que vou usar aqui.
Passo 3
Calcular
usando a fórmula
. Tomando
e
, temos:
Agora computamos os termos:
Passo 4
Multiplicar
por
. Usamos distribuição (distributiva da multiplicação sobre a adição):
Agora somamos termos semelhantes (mesmo grau em
):
Passo 5
Reescrevemos a integral original como a integral do polinômio obtido:
Usamos agora a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem ser tiradas para fora da integral. Ou seja,
Passo 6
Aplicamos a regra da potência para integrais: para
,
Também usamos que
e a propriedade do fator constante
.
Calculemos termo a termo:
- Para
, com ,
- Para
, primeiro , então multiplicando por dá
- Para
, primeiro , então
- Para
,
Passo 7
Somando todos os resultados e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva pedida: