Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)^{2}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função a ser integrada é um produto de polinômios em \,x.
  • Trata-se de uma integral indefinida (sem limites), então o resultado deverá conter uma constante de integração C.
  • Não há termos do tipo x\,dx soltos que sugiram diretamente uma substituição simples do tipo u=x^{2}+2 sem ajustes.

Passo 2

Escolha do método: temos duas opções naturais que aparecem para polinômios assim:
  1. Tentar uma substituição como \,u=x^{2}+2. Isso gera \,du=2x\,dx, ou seja, aparece um fator x que não está presente no integrando original, então a substituição não simplifica direto.
  2. Expandir o polinômio \left(x^{2}+2\right)^{2}, multiplicar por \left(x^{2}+1\right) e integrar termo a termo. Como tudo é polinomial, essa segunda opção é direta e simples — é a que vou usar aqui.

Passo 3

Calcular \left(x^{2}+2\right)^{2} usando a fórmula (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Tomando a=x^{2} e b=2, temos:
\left(x^{2}+2\right)^{2} = \left(x^{2}\right)^{2} + 2\cdot x^{2}\cdot 2 + 2^{2}.
Agora computamos os termos:
\left(x^{2}+2\right)^{2} = x^{4} + 4x^{2} + 4.

Passo 4

Multiplicar \left(x^{2}+1\right) por \left(x^{4}+4x^{2}+4\right). Usamos distribuição (distributiva da multiplicação sobre a adição):
\begin{aligned} \left(x^{2}+1\right)\left(x^{4}+4x^{2}+4\right) &= x^{2}\left(x^{4}+4x^{2}+4\right) + 1\cdot\left(x^{4}+4x^{2}+4\right)\\\ &= \left(x^{6}+4x^{4}+4x^{2}\right) + \left(x^{4}+4x^{2}+4\right). \end{aligned}
Agora somamos termos semelhantes (mesmo grau em x):
x^{6} + (4x^{4}+x^{4}) + (4x^{2}+4x^{2}) + 4 = x^{6} + 5x^{4} + 8x^{2} + 4.

Passo 5

Reescrevemos a integral original como a integral do polinômio obtido:
\int\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)^{2}\,dx = \int\left(x^{6} + 5x^{4} + 8x^{2} + 4\right)\,dx.
Usamos agora a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem ser tiradas para fora da integral. Ou seja,
\int\left(x^{6} + 5x^{4} + 8x^{2} + 4\right)\,dx = \int x^{6}\,dx + 5\int x^{4}\,dx + 8\int x^{2}\,dx + 4\int 1\,dx.

Passo 6

Aplicamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Também usamos que \int 1\,dx = x + C e a propriedade do fator constante \int a f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Calculemos termo a termo:
  • Para \int x^{6}\,dx, com n=6,
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7}.
  • Para 5\int x^{4}\,dx, primeiro \int x^{4}\,dx = \dfrac{x^{5}}{5}, então multiplicando por 5
5\int x^{4}\,dx = 5\cdot\frac{x^{5}}{5} = x^{5}.
  • Para 8\int x^{2}\,dx, primeiro \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}, então
8\int x^{2}\,dx = 8\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{8x^{3}}{3}.
  • Para 4\int 1\,dx,
4\int 1\,dx = 4x.

Passo 7

Somando todos os resultados e incluindo a constante de integração \,C, obtemos a primitiva pedida:
\frac{x^{7}}{7} + x^{5} + \frac{8x^{3}}{3} + 4x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{7}}{7} + x^{5} + \frac{8x^{3}}{3} + 4x + C

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