a. Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
b. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.
f(x)=1,0<x<\pi; série em seno, período 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier em senos (isto é, a extensão ímpar periódica de período 2\pi) da função
f(x)=1,\quad 0<x<\pi,
e depois desenhar o gráfico da função à qual essa série converge num intervalo de três períodos. O conteúdo principal aqui é entender que, ao fazer a série em senos com período 2\pi, estamos implicitamente estendendo f de forma ímpar para -\pi<x<0, e depois repetindo de modo periódico.

Passo 2

Para uma função de período 2\pi e extensão ímpar, só aparecem termos
\sin(nx). Os coeficientes são dados por
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx.
Como f é ímpar (pela extensão) e \sin(nx) também é ímpar, podemos usar
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx
no trecho original 0<x<\pi.

Passo 3

Dentro de 0<x<\pi temos f(x)=1, logo
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\,\frac{1-\cos(n\pi)}{n}.
Como \cos(n\pi)=(-1)^{n}, deduzimos que
  • Para n par: \cos(n\pi)=1 e b_{n}=0.
  • Para n=2k-1 (ímpar): \cos(n\pi)=-1 e b_{2k-1} =\frac{2}{\pi}\,\frac{1-(-1)}{2k-1} =\frac{4}{\pi\,(2k-1)}.

Passo 4

Portanto a série de Fourier em senos fica
f(x)\sim\sum_{k=1}^{\infty}b_{2k-1}\,\sin\bigl((2k-1)x\bigr) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi\,(2k-1)}\, \sin\bigl((2k-1)x\bigr).

Passo 5

Sobre a convergência: onde f é contínua, a série converge a f(x). Nos pontos de descontinuidade (como x=0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots) converge à média dos limites laterais, que é zero ali. Assim obtemos um quadrado ímpar que vale +1 em (0,\pi), -1 em (-\pi,0), e se repete de período 2\pi.

Resposta

a. A série de Fourier em senos de período 2\pi é
\boxed{ f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi\,(2k-1)}\, \sin\bigl((2k-1)x\bigr). }
b. O gráfico da função à qual essa série converge é a onda quadrada ímpar de amplitude \pm1, com saltos em x=m\pi ( m\in\mathbb{Z}). Num intervalo de três períodos, de -3\pi a 3\pi, alterna +1 em cada intervalo (2m\pi,\,(2m+1)\pi) e -1 em ((2m-1)\pi,\,2m\pi).

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