a. Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
b. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.
; série em seno, período
b. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Fourier em senos (isto é, a extensão ímpar periódica de período
) da função
e depois desenhar o gráfico da função à qual essa série converge num intervalo de três períodos. O conteúdo principal aqui é entender que, ao fazer a série em senos com período
, estamos implicitamente estendendo
de forma ímpar para
, e depois repetindo de modo periódico.
Passo 2
Para uma função de período
e extensão ímpar, só aparecem termos
. Os coeficientes são dados por
Como
é ímpar (pela extensão) e
também é ímpar, podemos usar
no trecho original
.
Passo 3
Dentro de
temos
, logo
Como
, deduzimos que
- Para
par: e . - Para
(ímpar): e
Passo 4
Portanto a série de Fourier em senos fica
Passo 5
Sobre a convergência: onde
é contínua, a série converge a
. Nos pontos de descontinuidade (como
) converge à média dos limites laterais, que é zero ali. Assim obtemos um quadrado ímpar que vale
em
,
em
, e se repete de período
.
Resposta
a. A série de Fourier em senos de período
é
b. O gráfico da função à qual essa série converge é a onda quadrada ímpar de amplitude
, com saltos em
(
). Num intervalo de três períodos, de
a
, alterna
em cada intervalo
e
em
.