Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
(função seno com argumento
). A incógnita de integração é
. Não há limites (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: usar a substituição simples (também chamada de mudança de variável), que é a aplicação “inversa” da regra da cadeia. Ideia: reconhecer uma função composta
onde
. A substituição transforma a integral em uma mais simples. Em provas é um método muito comum e rápido quando temos uma constante multiplicando
dentro de uma função trigonométrica.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Então derivando ambos os lados em relação a
,
Passo 4
Reescrever a integral em
. Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Calcular a integral em
. Lembrando que a derivada de
é
, portanto uma primitiva de
é
. Assim
Logo
Passo 6
Voltar para a variável original
. Substituindo
de volta:
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando:
portanto está correto.
Passo 8
Resumo prático (memorização útil): para qualquer constante
,
Isso é uma fórmula que vale sempre e acelera muito na hora da prova.