Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen} 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen} 5x \, dx.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sen}5x (função seno com argumento 5x). A incógnita de integração é x. Não há limites (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: usar a substituição simples (também chamada de mudança de variável), que é a aplicação “inversa” da regra da cadeia. Ideia: reconhecer uma função composta g(h(x)) onde h(x)=5x. A substituição transforma a integral em uma mais simples. Em provas é um método muito comum e rápido quando temos uma constante multiplicando x dentro de uma função trigonométrica.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u = 5x.
Então derivando ambos os lados em relação a x,
du = 5\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.

Passo 4

Reescrever a integral em u. Substituindo u e dx obtemos
\int \operatorname{sen}5x\,dx = \int \operatorname{sen}u\cdot\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \operatorname{sen}u\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u. Lembrando que a derivada de \cos u é -\operatorname{sen}u, portanto uma primitiva de \operatorname{sen}u é -\cos u. Assim
\int \operatorname{sen}u\,du = -\cos u + C.
Logo
\frac{1}{5}\int \operatorname{sen}u\,du = \frac{1}{5}\bigl(-\cos u\bigr) + C = -\frac{1}{5}\cos u + C.

Passo 6

Voltar para a variável original x. Substituindo u=5x de volta:
-\frac{1}{5}\cos u + C = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right) = -\frac{1}{5}\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(5x)\bigr)\cdot 5 = \operatorname{sen}(5x),
portanto está correto.

Passo 8

Resumo prático (memorização útil): para qualquer constante a\neq 0,
\int \operatorname{sen}(a x)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(a x) + C.
Isso é uma fórmula que vale sempre e acelera muito na hora da prova.

Resposta

-\dfrac{1}{5}\cos(5x)+C

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