Utilize o T.F.C para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}^{2} 2^{z} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida a seguir:
\int_{0}^{2} 2^{z}\,dz.
Informações dadas:
  • O integrando é 2^{z}.
  • Os limites de integração são z=0 (inferior) e z=2 (superior).
  • A tarefa é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) para obter o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Breve e didática explicação do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) que vamos usar:
  • Parte prática que usamos aqui: se F é uma primitiva (antiderivada) de f em um intervalo que contém [a,b], ou seja, F'(x)=f(x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  • Em palavras: para calcular uma integral definida, primeiro encontramos qualquer função F cuja derivada seja o integrando f; depois avaliamos F nos extremos e subtraímos.
  • Exemplo rápido (para fixar): se f(x)=x^2, uma primitiva é F(x)=\tfrac{x^3}{3}. Pelo T.F.C.:
\int_{0}^{1} x^2\,dx = \left.\tfrac{x^3}{3}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de f(z)=2^{z}.
  • Lembre que exponencial de base a>0 pode ser escrita como exponencial natural: a^{z}=e^{z\ln a}.
  • Aplicando isso com a=2, tem-se 2^{z}=e^{z\ln 2}.
  • A derivada de e^{z\ln 2} em relação a z é \frac{d}{dz}e^{z\ln 2}=(\ln 2)\,e^{z\ln 2}=(\ln 2)\,2^{z}.
  • Portanto, para obter uma primitiva de 2^{z} é preciso “dividir” por \ln 2. Assim uma primitiva é
F(z)=\frac{2^{z}}{\ln 2},
pois \displaystyle F'(z)=\frac{d}{dz}\!\left(\frac{2^{z}}{\ln 2}\right)=\frac{1}{\ln 2}\cdot(\ln 2)2^{z}=2^{z}.

Passo 4

Aplicar o T.F.C. usando a primitiva encontrada:
\int_{0}^{2} 2^{z}\,dz = \left.\frac{2^{z}}{\ln 2}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{\ln 2} - \frac{2^{0}}{\ln 2}.
Calcular os potes:
2^{2}=4,\qquad 2^{0}=1,
portanto
\int_{0}^{2} 2^{z}\,dz = \frac{4-1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2}.

Passo 5

Interpretação e dica para a prova:
  • O resultado final é \dfrac{3}{\ln 2}. Se quiser um valor aproximado, \ln 2\approx0,6931, logo \dfrac{3}{\ln 2}\approx4{,}328.
  • Dica prática: sempre transforme a^{x} em e^{x\ln a} quando precisar integrar, para identificar facilmente a primitiva.

Resposta

\dfrac{3}{\ln 2}

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