Utilize o T.F.C para calcular as seguintes integrais:
\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1+x}{\sqrt{x}}.
  • Os limites de integração são a=1 e b=4.
  • Deve-se usar o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) para obter o valor numérico da integral.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando escrevendo em potências de x. Lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2}, temos:
\frac{1+x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}+x^{1/2}.
Portanto a integral fica
\int_{1}^{4}\frac{1+x}{\sqrt{x}}\,dx=\int_{1}^{4}\left(x^{-1/2}+x^{1/2}\right)\,dx.

Passo 3

Vamos relembrar a regra básica que usaremos (regra da potência para primitiva):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1.
Explicando de forma simples: essa fórmula diz que para integrar uma potência x^{n} somamos 1 no expoente e dividimos pelo novo expoente. O C é a constante de integração para primitivas indefinidas. Dá para verificar rapidamente derivando o lado direito: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n}.
Também usaremos linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 4

Aplicando a regra da potência termo a termo às funções x^{-1/2} e x^{1/2}:
Para x^{-1/2} temos n=-\tfrac{1}{2}, então
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}= \frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Para x^{1/2} temos n=\tfrac{1}{2}, então
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}= \frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Logo, uma primitiva F(x) do integrando é
F(x)=2x^{1/2}+\frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 5

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (forma utilizada): se F é uma primitiva de f em [a,b], ou seja F'(x)=f(x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui f(x)=x^{-1/2}+x^{1/2} e já encontramos F(x)=2x^{1/2}+\dfrac{2}{3}x^{3/2}. Vamos aplicar o T.F.C. com a=1 e b=4.

Passo 6

Calcular F(4) e F(1) separadamente.
Primeiro F(4):
x^{1/2}\big|_{x=4}=\sqrt{4}=2, \qquad x^{3/2}\big|_{x=4}=(\sqrt{4})^3=2^3=8.
Portanto
F(4)=2\cdot 2 + \frac{2}{3}\cdot 8 = 4 + \frac{16}{3} = \frac{12}{3}+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}.
Agora F(1):
x^{1/2}\big|_{x=1}=\sqrt{1}=1, \qquad x^{3/2}\big|_{x=1}=1^{3/2}=1.
Portanto
F(1)=2\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot 1 = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3}+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 7

Aplicando o T.F.C.:
\int_{1}^{4}\frac{1+x}{\sqrt{x}}\,dx = F(4)-F(1)=\frac{28}{3}-\frac{8}{3}=\frac{20}{3}.

Resposta

\dfrac{20}{3}

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