Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int e^{-x} \cos (2 x) d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
I=\int e^{-x}\cos(2x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de uma exponencial decrescente \,e^{-x}\, e a função trigonométrica \cos(2x). O objetivo é encontrar uma primitiva I(x) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. Ela diz que, para funções u(x) e v(x) suficientemente suaves,
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando: escolhemos u como uma parte da função que vamos derivar (para obter du) e dv como a parte que podemos integrar facilmente (para obter v). Essa técnica é útil quando a integral original reaparece de forma semelhante após duas aplicações, permitindo resolver por álgebra.

Passo 3

Aplicando integração por partes uma primeira vez. Definimos
u=\cos(2x),\qquad dv=e^{-x}\,dx.
Calculemos du e v:
du = \frac{d}{dx}\cos(2x)\,dx = -2\sin(2x)\,dx, \qquad v=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Agora aplicamos a fórmula:
I = \int e^{-x}\cos(2x)\,dx = u v - \int v\,du = -e^{-x}\cos(2x) - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\bigl(-2\sin(2x)\bigr)\,dx.
Simplificando os sinais, obtemos
I = -e^{-x}\cos(2x) - 2\int e^{-x}\sin(2x)\,dx.
Definimos a integral secundária
J=\int e^{-x}\sin(2x)\,dx,
assim
I = -e^{-x}\cos(2x) - 2J.

Passo 4

Calculemos J também por integração por partes. Escolhemos
u=\sin(2x),\qquad dv=e^{-x}\,dx.
Então
du = \frac{d}{dx}\sin(2x)\,dx = 2\cos(2x)\,dx, \qquad v=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
J = u v - \int v\,du = -e^{-x}\sin(2x) - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\bigl(2\cos(2x)\bigr)\,dx.
Simplificando,
J = -e^{-x}\sin(2x) + 2\int e^{-x}\cos(2x)\,dx.
Reconhecendo a integral I à direita, obtemos
J = -e^{-x}\sin(2x) + 2I.

Passo 5

Substituímos a expressão de J em \,I = -e^{-x}\cos(2x) - 2J\,:
I = -e^{-x}\cos(2x) - 2\bigl(-e^{-x}\sin(2x) + 2I\bigr).
Expandindo os termos:
I = -e^{-x}\cos(2x) + 2e^{-x}\sin(2x) - 4I.
Agrupando I dos dois lados:
I + 4I = 5I = -e^{-x}\cos(2x) + 2e^{-x}\sin(2x).
Logo,
I = \frac{1}{5}\,e^{-x}\bigl(-\cos(2x) + 2\sin(2x)\bigr).
Podemos reescrever de forma mais agradável:
I = \frac{e^{-x}}{5}\bigl(2\sin(2x)-\cos(2x)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (importante para prova): derivando a primitiva encontrada devemos retornar à integranda. Diferenciando
F(x)=\frac{e^{-x}}{5}\bigl(2\sin(2x)-\cos(2x)\bigr)
pela regra do produto:
F'(x)=\frac{1}{5}\Bigl((-e^{-x})\bigl(2\sin(2x)-\cos(2x)\bigr) + e^{-x}\bigl(4\cos(2x)+2\sin(2x)\bigr)\Bigr).
Simplificando o numerador:
(-2\sin(2x)+\cos(2x)+4\cos(2x)+2\sin(2x))e^{-x} = 5\cos(2x)\,e^{-x}.
Assim
F'(x)=\frac{1}{5}\cdot 5\cos(2x)\,e^{-x}=e^{-x}\cos(2x),
que é exatamente a integranda. Verificação OK.

Resposta

\frac{e^{-x}}{5}\bigl(2\sin(2x)-\cos(2x)\bigr)+C

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