Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de uma exponencial decrescente
e a função trigonométrica
. O objetivo é encontrar uma primitiva
mais uma constante de integração
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. Ela diz que, para funções
e
suficientemente suaves,
Explicando: escolhemos
como uma parte da função que vamos derivar (para obter
) e
como a parte que podemos integrar facilmente (para obter
). Essa técnica é útil quando a integral original reaparece de forma semelhante após duas aplicações, permitindo resolver por álgebra.
Passo 3
Aplicando integração por partes uma primeira vez. Definimos
Calculemos
e
:
Agora aplicamos a fórmula:
Simplificando os sinais, obtemos
Definimos a integral secundária
assim
Passo 4
Calculemos
também por integração por partes. Escolhemos
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando,
Reconhecendo a integral
à direita, obtemos
Passo 5
Substituímos a expressão de
em
:
Expandindo os termos:
Agrupando
dos dois lados:
Logo,
Podemos reescrever de forma mais agradável:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (importante para prova): derivando a primitiva encontrada devemos retornar à integranda. Diferenciando
pela regra do produto:
Simplificando o numerador:
Assim
que é exatamente a integranda. Verificação OK.