Uma importante função presente na teoria física de difração das ondas de luz, que também é aplicada no planejamento de auto-estradas, é a função de Fresnel F(x) \int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi t^{2}}{2}\right) d t. Calcule F^{\prime \prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de Fresnel
F(x)=\int_{0}^{x}\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t^{2}}{2}\right)\,dt
e pede que calculemos F''(x) (a segunda derivada de F em relação a x).
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é f(t)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t^{2}}{2}\right).
  • O limite superior da integral é x (variável). O limite inferior é constante 0.
  • A função \operatorname{sen} é contínua, e a composição com um polinômio também é contínua, portanto o teorema fundamental do cálculo vale aqui.
O que precisamos encontrar:
  • Primeiro F'(x).
  • Depois F''(x) derivando F'(x).

Passo 2

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) para obter F'(x).
Lembrete do teorema (em palavras simples): se
G(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,dt
e g é contínua, então
G'(x)=g(x).
Aqui, podemos tomar g(t)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t^{2}}{2}\right). Como g é contínua, o teorema dá diretamente:
F'(x)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x^{2}}{2}\right).

Passo 3

Explicar como derivar F'(x)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi x^{2}}{2}\right) para obter F''(x).
Vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se h(x)=\sin(u(x)) (ou \operatorname{sen}(u(x))), então
h'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Aqui estamos escrevendo u(x) para a “parte de dentro” da função seno. É importante identificar claramente u(x) e calcular sua derivada u'(x).

Passo 4

Identificar u(x) e calcular u'(x).
No nosso caso:
u(x)=\frac{\pi x^{2}}{2}.
Derivando u(x) em relação a x:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x^{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot 2x=\pi x.
Expliquei passo a passo: a derivada de x^{2} é 2x, multiplica-se pelo coeficiente \dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter F''(x).
Usando F'(x)=\operatorname{sen}\!\left(u(x)\right) com u(x)=\dfrac{\pi x^{2}}{2} e u'(x)=\pi x, temos
F''(x)=\frac{d}{dx}\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x^{2}}{2}\right)\right] =\cos\!\left(\frac{\pi x^{2}}{2}\right)\cdot\pi x.

Resposta

F''(x)=\pi x\cos\!\left(\frac{\pi x^{2}}{2}\right)

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