Uma importante função presente na teoria física de difração das ondas de luz, que também é aplicada no planejamento de auto-estradas, é a função de Fresnel F(x)
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de Fresnel
e pede que calculemos
(a segunda derivada de
em relação a
).
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é
. - O limite superior da integral é
(variável). O limite inferior é constante . - A função
é contínua, e a composição com um polinômio também é contínua, portanto o teorema fundamental do cálculo vale aqui.
O que precisamos encontrar:
- Primeiro
. - Depois
derivando .
Passo 2
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) para obter
.
Lembrete do teorema (em palavras simples): se
e
é contínua, então
Aqui, podemos tomar
. Como
é contínua, o teorema dá diretamente:
Passo 3
Explicar como derivar
para obter
.
Vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se
(ou
), então
Aqui estamos escrevendo
para a “parte de dentro” da função seno. É importante identificar claramente
e calcular sua derivada
.
Passo 4
Identificar
e calcular
.
No nosso caso:
Derivando
em relação a
:
Expliquei passo a passo: a derivada de
é
, multiplica-se pelo coeficiente
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Usando
com
e
, temos