Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o produto de
(polinomial) por
(exponencial). O objetivo é encontrar uma primitiva dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. Vou explicar ela direitinho porque é muito útil quando aparece um produto de funções.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da diferenciação. Se escolhermos duas funções suficientemente boas
e
, com
e
, então vale
O que cada símbolo significa:
-
é uma função que vamos diferenciar (calculamos ); -
é a parte que vamos integrar (calculamos tal que ); -
é o produto das duas funções (avaliado em ); - o resultado transforma uma integral difícil em outra que, geralmente, é mais simples.
Dica prática: escolha
de forma que sua derivada seja mais simples; escolha
de forma que seja fácil integrar.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: queremos integrar
. Uma escolha natural é
Agora calculamos
e
:
- Diferenciando
: - Integramos
para obter . Para integrar usamos a fórmula básica . Assim,
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
A integral restante é simples:
. Então
onde
é a constante de integração. Podemos também fatorar
:
Passo 5
Checagem (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada deveríamos voltar ao integrando. Seja
. Aplicando a regra do produto,
confirmando que a primitiva está correta.