Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int x e^{2 x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int x e^{2x}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de x (polinomial) por e^{2x} (exponencial). O objetivo é encontrar uma primitiva dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{2x}. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. Vou explicar ela direitinho porque é muito útil quando aparece um produto de funções.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da diferenciação. Se escolhermos duas funções suficientemente boas u(x) e v(x), com du = u'(x)\,dx e dv = v'(x)\,dx, então vale
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
O que cada símbolo significa:
  • u é uma função que vamos diferenciar (calculamos du);
  • dv é a parte que vamos integrar (calculamos v tal que dv = v'(x)\,dx);
  • uv é o produto das duas funções (avaliado em x);
  • o resultado transforma uma integral difícil em outra que, geralmente, é mais simples.
Dica prática: escolha u de forma que sua derivada seja mais simples; escolha dv de forma que seja fácil integrar.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: queremos integrar \int x e^{2x}\,dx. Uma escolha natural é
u = x,\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Agora calculamos du e v:
  • Diferenciando u: \,du = dx.
  • Integramos dv para obter v. Para integrar e^{2x} usamos a fórmula básica \int e^{a x}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{a x}. Assim,
v = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int x e^{2x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx.
A integral restante é simples: \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}. Então
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração. Podemos também fatorar e^{2x}:
\int x e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{4}(2x-1) + C.

Passo 5

Checagem (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada deveríamos voltar ao integrando. Seja F(x)=\dfrac{1}{2}x e^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}. Aplicando a regra do produto,
F'(x)=\frac{1}{2}\big(e^{2x}+2x e^{2x}\big)-\frac{1}{4}\cdot 2 e^{2x} =\frac{1}{2}e^{2x}+x e^{2x}-\frac{1}{2}e^{2x}=x e^{2x},
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{e^{2x}}{4}(2x-1)+C

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