Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 11+tan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 11+tan x,dx
O conteúdo envolvido é manipular razões trigonométricas para reescrever o integrando em termos de seno e cosseno, fazer uma decomposição algébrica e usar substituição.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando tan x=sin xcos x:
11+tan x = 11+sin xcos x = cos xcos x+sin x

Passo 3

Para facilitar a integração, decomponho cos x como
cos x = 12l[(cos x-sin x)+(cos x+sin x)r]
Então
cos xcos x+sin x = 12cos x-sin xcos x+sin x + 12
Logo
integral 11+tan x,dx = 12integral cos x-sin xcos x+sin x,dx + 12integral 1,dx

Passo 4

Para a primeira integral, fazemos a substituição
u = cos x+sin x, du = (cos x-sin x),dx
Isso dá
integral cos x-sin xcos x+sin x,dx = integral duu = lnlvert urvert = lnlvert cos x+sin xrvert

Passo 5

Substituindo de volta, temos
integral 11+tan x,dx = 12,lnlvert cos x+sin xrvert + 12,x + C

Resposta

integral 11+tan x,dx = x2 + 12lnllvert cos x + sin xrrvert + C

Exercícios relacionados