Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 12-cos x+2 sin x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 12 - cos x + 2sin x,dx
O conteúdo aqui é integrar uma função racional em sin x e cos x. Vamos usar a substituição de Weierstrass, em que definimos
t = tan!l(x2r),
e expressamos sin x, cos x e dx em função de t.

Passo 2

Pela substituição de Weierstrass temos
sin x = 2t1+t^2, cos x = 1 - t^21 + t^2, dx = 2,dt1+t^2
No denominador da integral original surge
2 - cos x + 2sin x = 2 - 1 - t^21 + t^2 + 2cdot2t1 + t^2 = 2(1+t^2) - (1 - t^2) + 4t1+t^2 = 1 + 4t + 3t^21+t^2
Logo o integrando fica
12 - cos x + 2sin x,dx = 11 + 4t + 3t^21+t^2cdot2,dt1+t^2 = 2,dt3t^2 + 4t +1

Passo 3

Agora calculamos
2integral dt3t^2 + 4t +1
Fatoramos o denominador:
3t^2 + 4t +1 = (3t+1)(t+1)
Fazemos frações parciais: buscamos A,B tais que
2(3t+1)(t+1) = A3t+1 + Bt+1
Temos
2 = A(t+1) + B(3t+1) = (A+3B),t + (A+B)
Igualando coeficientes:
A + 3B = 0, A + B = 2 ;Longrightarrow; B = -1,;A = 3
Logo
23t^2+4t+1 = 33t+1 - 1t+1

Passo 4

Integramos termo a termo:
2integral dt3t^2+4t+1 = integral l(33t+1 - 1t+1r),dt = integral 3,dt3t+1 - integral dtt+1
Fazendo as integrais:
integral 3,dt3t+1 = lnl|3t+1r|, integral dtt+1 = lnl|t+1r|
Portanto
2integral dt3t^2+4t+1 = lnl|3t+1r| - lnl|t+1r| + C = ln!l|3t+1t+1r| + C

Resposta

Substituindo t = tan(tfracx2), obtemos
boxed integral 12 - cos x + 2sin x,dx = ln!l|3tan(tfracx2) +1tan(tfracx2) +1r| + C

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