Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-1(s+1)^3s^4

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de (s+1)^3s^4. Vamos usar álgebra para decompor essa expressão em potências de 1/s e, em seguida, aplicar o Teorema 7.2.1, que afirma que
Lt^n=n!s^n+1,
ou seja, recíproco é
L^-11s^n+1=t^nn!,
usando linearidade para somar termos.

Passo 2

Expandimos o numerador (s+1)^3. Pela fórmula do binômio de Newton,
(s+1)^3 = s^3 + 3s^2 + 3s + 1

Passo 3

Dividimos cada termo por s^4:
(s+1)^3s^4 =s^3s^4+3s^2s^4+3ss^4+1s^4 =1s+ 3s^2+3s^3+1s^4

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo com o Teorema 7.2.1:
L^-11s=1, L^-13s^2=3,t, L^-13s^3=3,t^22, L^-11s^4=t^36
Somando tudo, obtemos a função no domínio do tempo.

Resposta

L^-1(s+1)^3s^4 =1 + 3t + tfrac32t^2 + tfrac16t^3

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