1. sumn=1^infty(1-1n)^n^2
    (Sugestão: lim n infty(1+x / n)^n=e^x.)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyl(1-1nr)^n^2
O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (ou teste de Cauchy), usando a sugestão
limntoinftyl(1+xnr)^n=e^x

Passo 2

Defina an=l(1-1nr)^n^2. Para aplicar o teste da raiz, calcule
limntoinftyraiz[n]an =limntoinftyl(1-tfrac1nr)^n =e^-1,
pois basta usar x=-1 na sugestão.

Passo 3

No teste da raiz, se
L=limntoinftyraiz[n]an<1,
então a série sum an converge absolutamente. Aqui L=e^-1<1, logo a série converge.

Passo 4

Alternativamente, note que
ln an =n^2lnl(1-tfrac1nr) =n^2l(-tfrac1n-tfrac12n^2+O(tfrac1n^3)r) =-n-tfrac12+O(tfrac1n),
portanto
an=e^-n-tfrac12+O(1/n)sim e^-1/2,e^-n,
e comparando com uma série geométrica de razão e^-1<1 confirma-se a convergência.

Resposta

A série sumn=1^inftyl(1-tfrac1nr)^n^2 converge (absolutamente).

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