Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x^2+1(x-3)(x-2)^2 d x

Passo 1

Temos a integral indefinida
integral x^2+1(x-3)(x-2)^2,dx
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais. Vamos usar essa técnica para reescrever o integrando como soma de frações simples.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
x^2+1(x-3)(x-2)^2=Ax-3+Bx-2+C(x-2)^2
Multiplicamos ambos os lados por (x-3)(x-2)^2 para obter uma identidade em polinômios.

Passo 3

Após multiplicar, obtemos
x^2+1=A(x-2)^2+B(x-3)(x-2)+C(x-3)
Expandindo e agrupando termos:
= (A+B)x^2+(-4A-5B+C)x+(4A+6B-3C)
Comparando com x^2+0x+1 surge o sistema
$$ A+B=1, -4A-5B+C=0, 4A+6B-3C=1
$$

Passo 4

Da primeira equação vem B=1-A. Substituindo na segunda achamos C=5-A. Inserindo esses em 4A+6B-3C=1 resulta em A=10. Logo:
A=10, B=-9, C=-5

Passo 5

Reescrevendo o integrando com esses valores
x^2+1(x-3)(x-2)^2=10x-3-9x-2-5(x-2)^2
Agora integramos termo a termo:
integral 10x-3dx=10ln|x-3|,
integral -9x-2dx=-9ln|x-2|,
integral -5(x-2)^-2dx=5(x-2)^-1=5x-2

Resposta

10ln|x-3|-9ln|x-2|+5x-2+C

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