4-Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sec ^3(x) tg(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sec^3(x),tan(x),dx. O conteúdo principal é integração por substituição, usando a relação entre a derivada de sec(x) e sec(x)tan(x).

Passo 2

Observamos que a derivada de sec(x) é sec(x)tan(x). Então podemos reescrever o integrando separando um fator sec(x)tan(x):
[
\sec^3(x),\tan(x),dx
= \sec^2(x) \bigl(\sec(x)\tan(x),dx\bigr).

Passo 3

Fazendo a substituição u=sec(x), temos du=sec(x)tan(x),dx. Assim a integral vira:
integral sec^2(x)l(sec(x)tan(x),dxr) = integral u^2,du
Agora é só integrar: integral u^2,du=u^33+C.

Passo 4

Voltando à variável x, trocamos u por sec(x) e obtemos sec^3(x)3+C.

Resposta

sec^3(x)3+C

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