Considere o campo vetorial
Phi=(P(x, y), Q(x, y))=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
(a) Calcule partial Qpartial x-partial Ppartial y.
(b) Calcule a integral de linha integralC Phi cdot d r ao longo de um círculo fechado de raio a>0, centro na origem e orientação no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha com a curva parametrizada.
© Por que isso não contradiz o teorema de Green?

Passo 1

Temos o campo vetorial Phi=(P,Q) com P(x,y)=-y/(x^2+y^2) e Q(x,y)=x/(x^2+y^2). Precisamos de (a) calcular o rotacional partial Q/partial x-partial P/partial y, (b) a integral de linha integralCPhicdot d r sobre o círculo de raio a centrado na origem (sentido anti-horário) usando parametrização, e © explicar por que isso não contradiz o Teorema de Green. Para isso vamos usar derivadas parciais, regra do quociente, parametrização de curvas e as hipóteses do Teorema de Green.

Passo 2

Para (a), aplicamos a regra do quociente: calculamos
partial Q/partial x=(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2
e
partial P/partial y=-(x^2+y^2)+2y^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2.
Fazendo a diferença obtemos partial Q/partial x-partial P/partial y=0.

Passo 3

Para (b), parametrizamos o círculo por
r(t)=(acos t,asin t), tin[0,2pi].
Então dx=-asin t,dt e dy=acos t,dt. Substituindo em P,dx+Q,dy e usando x^2+y^2=a^2, encontramos
P,dx+Q,dy=dt.

Passo 4

Integramos de 0 a 2pi:
integralCPhicdot d r=integral0^2pidt=2pi.

Passo 5

Para ©, o Teorema de Green exige que P e Q sejam C^1 em uma região simplesmente conexa que contenha o interior de C. Aqui o campo é singular na origem, que está dentro do círculo, violando as hipóteses do teorema. Portanto não há contradição.

Resposta

(a) 0; (b) 2pi; © porque o campo não está definido em (0,0), ferindo as hipóteses do Teorema de Green (região não simplesmente conexa).

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