Considere o campo vetorial
(a) Calcule
.
(b) Calcule a integral de linha
ao longo de um círculo fechado de raio
a>0 , centro na origem e orientação no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha com a curva parametrizada.
© Por que isso não contradiz o teorema de Green?
(b) Calcule a integral de linha
© Por que isso não contradiz o teorema de Green?
Passo 1
Temos o campo vetorial
Phi=(P,Q) com
P(x,y)=-y/(x^2+y^2) e
Q(x,y)=x/(x^2+y^2) . Precisamos de (a) calcular o rotacional
partial Q/partial x-partial P/partial y , (b) a integral de linha
integralCPhicdot d r sobre o círculo de raio
a centrado na origem (sentido anti-horário) usando parametrização, e © explicar por que isso não contradiz o Teorema de Green. Para isso vamos usar derivadas parciais, regra do quociente, parametrização de curvas e as hipóteses do Teorema de Green.
Passo 2
Para (a), aplicamos a regra do quociente: calculamos
partial Q/partial x=(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2
e
partial P/partial y=-(x^2+y^2)+2y^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2 .
Fazendo a diferença obtemospartial Q/partial x-partial P/partial y=0 .
e
Fazendo a diferença obtemos
Passo 3
Para (b), parametrizamos o círculo por
r(t)=(acos t,asin t) ,
tin[0,2pi] .
Entãodx=-asin t,dt e
dy=acos t,dt . Substituindo em
P,dx+Q,dy e usando
x^2+y^2=a^2 , encontramos
P,dx+Q,dy=dt .
Então
Passo 4
Integramos de 0 a
2pi :
integralCPhicdot d r=integral0^2pidt=2pi .
Passo 5
Para ©, o Teorema de Green exige que
P e
Q sejam
C^1 em uma região simplesmente conexa que contenha o interior de
C . Aqui o campo é singular na origem, que está dentro do círculo, violando as hipóteses do teorema. Portanto não há contradição.
Resposta
(a)
0 ; (b)
2pi ; © porque o campo não está definido em
(0,0) , ferindo as hipóteses do Teorema de Green (região não simplesmente conexa).