Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
onde
. Esse tipo de integral envolve técnicas de análise complexa, principalmente o teorema dos resíduos, e a representação de
como parte real de uma exponencial complexa.
Passo 2
Para usar análise complexa, escrevemos
e definimos a integral auxiliar:
A resposta original será
.
Passo 3
Consideramos a função complexa
e um contorno que consiste na reta de
a
mais o semicírculo de raio
no semiplano superior. Pelo lema de Jordan, como
, a integral sobre o arco tende a zero quando
, então a integral na reta real coincide com a do contorno fechado.
Passo 4
Identificamos o único polo simples de
no plano superior em
e calculamos seu resíduo:
Passo 5
Pelo teorema dos resíduos, a integral auxiliar é
Como
é real, temos