Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
integral-infty^infty cos (a x)x^2+b^2 d x, onde a, b>0;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty cos(ax)x^2 + b^2 ,dx,
onde a,b>0. Esse tipo de integral envolve técnicas de análise complexa, principalmente o teorema dos resíduos, e a representação de cos(ax) como parte real de uma exponencial complexa.

Passo 2

Para usar análise complexa, escrevemos cos(ax)=Re(e^iax) e definimos a integral auxiliar:
J=integral-infty^inftye^iaxx^2+b^2,dx
A resposta original será I=Re(J).

Passo 3

Consideramos a função complexa f(z)=e^iazz^2+b^2 e um contorno que consiste na reta de -R a R mais o semicírculo de raio R no semiplano superior. Pelo lema de Jordan, como a>0, a integral sobre o arco tende a zero quando Rtoinfty, então a integral na reta real coincide com a do contorno fechado.

Passo 4

Identificamos o único polo simples de f(z) no plano superior em z=ib e calculamos seu resíduo:
Res(f, z=ib)=limzto ib(z-ib)e^iaz(z-ib)(z+ib)=e^ia(ib)2ib=e^-ab2ib

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos, a integral auxiliar é
J=2pi icdotRes(f,z=ib)=2pi icdote^-ab2ib=pibe^-ab
Como J é real, temos
I=Re(J)=pibe^-ab.

Resposta

pibe^-ab

Exercícios relacionados