Escrever o numero 1728 como o produto de 3 numeros positivos a,bec (ou seja ab c=1728 ) tal que a soma desses numeros seja minima (ou seja ( a+b+c ) seja minima)).

Passo 1

O enunciado pede três inteiros positivos a,b,c tais que atimes btimes c = 1728 e a soma a+b+c seja a menor possível. Vamos usar teoria de fatoração e a desigualdade AM–GM para guiar.

Passo 2

Para três números positivos, a desigualdade da média aritmética e geométrica diz:
A média aritmética tfraca+b+c3 é sempre maior ou igual à média geométrica (abc)^1/3, com igualdade só quando a=b=c.

Passo 3

Aqui o produto abc = 1728. Calculando a raiz cúbica, temos:
(abc)^1/3 = 1728^1/3 = 12
Logo a soma a+b+c atinge o mínimo exatamente quando a=b=c=12.

Passo 4

Verificamos que 12times12times12 = 1728 e então a menor soma possível é 12+12+12 = 36.

Resposta

a = 12, b = 12, c = 12

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