Escrever o numero 1728 como o produto de 3 numeros positivos a,bec (ou seja ab
) tal que a soma desses numeros seja minima (ou seja (
) seja minima)).
Passo 1
O enunciado pede três inteiros positivos
tais que
e a soma
seja a menor possível. Vamos usar teoria de fatoração e a desigualdade AM–GM para guiar.
Passo 2
Para três números positivos, a desigualdade da média aritmética e geométrica diz:
A média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica
, com igualdade só quando
.
A média aritmética
Passo 3
Aqui o produto
. Calculando a raiz cúbica, temos:
Logo a soma
atinge o mínimo exatamente quando
.
Passo 4
Verificamos que
e então a menor soma possível é
.
Resposta
a = 12, b = 12, c = 12