O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície orientada parametrizada por , onde os parâmetros variam em uma região , é dado por
onde a parametrização está de acordo com a orientação da superfície, ou seja, ru times rv não se anula e aponta na mesma direção de n. Calcule o fluxo de F através da superfície S. F=y i+x j e S é a superfície parametrizada por r(u, v)=(3 sen(u), 3 cos (u), v+1), onde 0 <= u <= pi, 0 <= v <= 1 e a orientação de S é tal que n aponta para longe do eixo z.
Passo 1
O exercício pede o fluxo de vec F=yvec i + xvec j pela superfície S dada por vec r(u,v)=(3sin u,,3cos u,,v+1), com 0<= u<=pi, 0<= v<=1 e a normal deve apontar para longe do eixo z. Vamos usar a fórmula
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral duplaDvec F(vec r(u,v))cdot(vec rutimesvec rv),du,dv
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
vec ru=(3cos u,,-3sin u,,0),
vec rv=(0,,0,,1)
Passo 3
O produto vetorial é
vec rutimesvec rv=(-3sin u,,-3cos u,,0),
mas esse vetor aponta para dentro do cilindro. Como a normal deve apontar para fora (longe do eixo z), invertemos o sinal e tomamos
dvec S=(3sin u,,3cos u,,0),du,dv
Passo 4
Substituímos no integrando: primeiro vec F(vec r(u,v))=(y,x,0)=(3cos u,,3sin u,,0). Então