O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície orientada S parametrizada por r=r(u, v), onde os parâmetros (u, v) variam em uma região D, é dado por
integral duplaS F cdot d s=integral duplaD F(r(u, v)) cdot(ru times rv) d u d v
onde a parametrização está de acordo com a orientação da superfície, ou seja, ru times rv não se anula e aponta na mesma direção de n. Calcule o fluxo de F através da superfície S.
F=y i+x j e S é a superfície parametrizada por r(u, v)=(3 sen(u), 3 cos (u), v+1), onde 0 <= u <= pi, 0 <= v <= 1 e a orientação de S é tal que n aponta para longe do eixo z.

Passo 1

O exercício pede o fluxo de vec F=yvec i + xvec j pela superfície S dada por vec r(u,v)=(3sin u,,3cos u,,v+1), com 0<= u<=pi, 0<= v<=1 e a normal deve apontar para longe do eixo z. Vamos usar a fórmula
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral duplaDvec F(vec r(u,v))cdot(vec rutimesvec rv),du,dv

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
vec ru=(3cos u,,-3sin u,,0),
vec rv=(0,,0,,1)

Passo 3

O produto vetorial é
vec rutimesvec rv=(-3sin u,,-3cos u,,0),
mas esse vetor aponta para dentro do cilindro. Como a normal deve apontar para fora (longe do eixo z), invertemos o sinal e tomamos
dvec S=(3sin u,,3cos u,,0),du,dv

Passo 4

Substituímos no integrando: primeiro vec F(vec r(u,v))=(y,x,0)=(3cos u,,3sin u,,0). Então
vec Fcdot dvec S=(3cos u,,3sin u,,0)cdot(3sin u,,3cos u,,0)=9(sin ucos u+sin ucos u)=18sin ucos u

Passo 5

Finalmente, integramos sobre uin[0,pi] e vin[0,1]:
integral duplaD18sin ucos u,du,dv=gl(integral0^1dvgr)l(18integral0^pisin ucos u,dur)=1times18cdotsin^2u2|0^pi=18cdot0=0

Resposta

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