Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sec ^2 x3+2 tan x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral sec^2x3+2tan x,dx,
usando técnicas de integração por substituição. Vamos identificar uma substituição que simplifique o denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = tan x,
então
du = sec^2x,dx
Com isso o numerador sec^2x,dx vira simplesmente du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral sec^2x3+2tan x,dx = integral du3+2u
Essa é uma integral do tipo integral dua+bu, cuja primitiva é
1blnl|a+bur| + C

Passo 4

Aqui a=3 e b=2, então
integral du3+2u = 12lnl|3+2ur| + C
Voltando à variável x (lembre que u=tan x), a antiderivada fica
12lnl|3+2tan xr| + C

Resposta

12lnl|3+2tan xr| + C

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