Identifique a região do R^3 descrita em coordenadas esféricas por:
rho=cosec varphi cotg varphi

Passo 1

O enunciado fornece em coordenadas esféricas a superfície
rho = cscvarphi;cotvarphi
e quer que a gente identifique que região (superfície) isso representa em R^3. Para isso, vamos converter para coordenadas cartesianas.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito em termos de sinvarphi e cosvarphi, temos
cscvarphi;cotvarphi =1sinvarphi;cosvarphisinvarphi =cosvarphisin^2varphi
Logo a equação vira
rho = cosvarphisin^2varphi

Passo 3

Em coordenadas esféricas sabemos que
sinvarphi=raizx^2+y^2rho e cosvarphi=zrho
Substituindo esses valores em rho = cosvarphisin^2varphi, obtemos
rho =tfraczrhol(tfracraizx^2+y^2rhor)^2 =z/rho(x^2+y^2)/rho^2 =z,rhox^2+y^2
Multiplicando ambos os lados por x^2+y^2
rho,(x^2+y^2)=z,rho Longrightarrow x^2+y^2=z,
(assumindo rhoneq0).

Passo 4

A equação
x^2+y^2=z
é exatamente um paraboloide circular de revolução cujo vértice está na origem e abre no sentido positivo de z.

Resposta

A superfície descrita por rho=cscvarphi;cotvarphi é o paraboloide de revolução dado por
x^2 + y^2 = z

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