As superfícies dadas abaixo estão representadas por suas equações cartesianas. Passe as equações para coordenadas cilíndricas e esféricas.
Parabolóide: 4 z=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado nos dá o paraboloide definido pela equação cartesiana
4z = x^2 + y^2
e pede para reescrevê-lo em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
Para isso, vamos usar as transformações conhecidas:
– Em coordenadas cilíndricas,
x = rcostheta,;y = rsintheta,;z = z
– Em coordenadas esféricas (convenção matemática),
x = rhosinphicostheta,;y = rhosinphisintheta,;z = rhocosphi

Passo 2

Substituindo em cilindricas temos
;x^2 + y^2 = r^2,
logo a equação
4z = x^2 + y^2
fica
4z = r^2
ou, isolando z,
z = r^24,

Passo 3

Em esféricas substituímos
x^2 + y^2 = rho^2sin^2phi e z = rhocosphi
na equação cartesiana. Assim
4(rhocosphi) = rho^2sin^2phi
Como rhoneq0, dividimos por rho e obtemos
4cosphi = rho,sin^2phi
ou seja
rho = 4cosphisin^2phi =;4cotphicscphi

Resposta

Em coordenadas cilíndricas:
z = r^24
Em coordenadas esféricas:
rho = 4cosphisin^2phi

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