Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-1s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2)

Passo 1

O enunciado pede
L^-1gls^2+1s,(s-1)(s+1)(s-2)gr,
isto é, encontrar f(t) cuja transformada de Laplace é s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2). Vamos usar o Teorema 7.2.1 (linearidade da transformada) e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Decompomos em frações parciais:
s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2) =As+Bs-1+Cs+1+Ds-2
Multiplicando ambos os lados por s(s-1)(s+1)(s-2), obtemos
s^2+1 = A,(s-1)(s+1)(s-2) + B,s(s+1)(s-2) + C,s(s-1)(s-2) + D,s(s-1)(s+1)

Passo 3

Para achar A,B,C,D usamos o método das raízes:
  • Em s=0: 1=Acdot(-1)cdot1cdot(-2)=2A, logo A=tfrac12.
  • Em s=1: 2=Bcdot1cdot2cdot(-1)=-2B, logo B=-1.
  • Em s=-1: 2=Ccdot(-1)cdot(-2)cdot(-3)=-6C, logo C=-tfrac13.
  • Em s=2: 5=Dcdot2cdot1cdot3=6D, logo D=tfrac56.

Passo 4

Substituindo os coeficientes,
s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2) =tfrac12s - 1s-1 - tfrac13s+1 + tfrac56s-2

Passo 5

Agora aplicamos L^-1 termo a termo, usando
L^-1tfrac1s=1,
L^-1 tfrac1s-1=e^t,
L^-1 tfrac1s+1=e^-t,
L^-1 tfrac1s-2=e^2t.
Assim,
f(t) =12cdot1 -1cdot e^t -13cdot e^-t +56cdot e^2t =12 - e^t - 13e^-t + 56e^2t

Resposta

f(t)=12 - e^t - tfrac13,e^-t + tfrac56,e^2t

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