4-Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sen(pi t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin(pi t),dt. O conteúdo é integração de funções do tipo sin(ax) e vamos precisar usar a técnica de substituição ou lembrar a primitiva direta.

Passo 2

Para aplicar substituição, definimos u = pi t. Dessa forma, du = pi,dt ou seja dt = dfracdupi. Substituindo na integral, temos:
integral sin(pi t),dt = integral sin(u)cdotdupi = 1piintegral sin(u),du

Passo 3

Agora calculamos integral sin(u),du. Sabemos que a derivada de cos(u) é -sin(u), então
integral sin(u),du = -cos(u) + C
Voltando à variável original t, substituímos u = pi t e multiplicamos pelo fator 1/pi:
1pi(-cos(u)) + C = -1picos(pi t) + C

Resposta

-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) + C

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