Encontrar os extremos locais das funções seguintes:
(b) f(x, y)=x^4+y^4-(2 x-y)^2 para todo (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado pede pra achar pontos de extremo local de uma função de duas variáveis, ou seja, precisamos usar as condições de primeira e segunda derivada (gradiente zero e matriz Hessiana) da teoria de otimização de funções de várias variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
fx=partial fpartial x=4x^3-2cdot2(2x-y)=4x^3-8x+4y
fy=partial fpartial y=4y^3-2cdot(-1)(2x-y)=4y^3+4x-2y

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema fx=0, fy=0:
  1. De fy=0 vem
4y^3+4x-2y=0Longrightarrow x=y-2y^32
2) Substituindo em fx=0:
4l(tfracy-2y^32r)^3-8l(tfracy-2y^32r)+4y=0
Isso leva a fatorar em y=0 ou a resolver numericamente 17-6y^2+12y^4-8y^6=0, dando as soluções y=0 ou yapproxpm1,329.
3) Para y=0 obtemos x=0. Para yapprox1,329 vem xapprox-1,684, e para yapprox-1,329 vem xapprox1,684.

Passo 4

Construir a matriz Hessiana e classificar cada ponto:
As segundas derivadas são
fxx=12x^2-8, fyy=12y^2-2, fxy=4
Determinante D=fxxfyy-fxy^2.
– Em (0,0): fxx=-8<0, fyy=-2<0, D=(-8)(-2)-4^2=0 (caso indefinido) e, testando direções, verifica-se que há valores de f maiores e menores perto de zero ⇒ ponto de sela.
– Em (x,y)approx(-1,684,1,329) e simetricamente em (1,684,-1,329): calculamos fxx>0, fyy>0, D>0 ⇒ matriz definida positiva ⇒ extremos locais do tipo mínimo.

Passo 5

Resposta final: saddle em (0,0), e mínimos locais aproximados em (-1,684,1,329) e (1,684,-1,329).

Resposta

Ponto de sela em (0,0); mínimos locais em aproximadamente (-1,684, 1,329) e (1,684, -1,329).

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