Encontrar os extremos locais das funções seguintes:
(b)
para todo
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede pra achar pontos de extremo local de uma função de duas variáveis, ou seja, precisamos usar as condições de primeira e segunda derivada (gradiente zero e matriz Hessiana) da teoria de otimização de funções de várias variáveis.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
–
–
–
–
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
,
:
- De
vem
2) Substituindo em
Isso leva a fatorar em
ou a resolver numericamente
, dando as soluções
ou
.
3) Para obtemos
. Para
vem
, e para
vem
.
3) Para
Passo 4
Construir a matriz Hessiana e classificar cada ponto:
As segundas derivadas são
As segundas derivadas são
Determinante
– Em
– Em
Passo 5
Resposta final: saddle em
, e mínimos locais aproximados em
e
.
Resposta
Ponto de sela em (0,0); mínimos locais em aproximadamente (-1,684, 1,329) e (1,684, -1,329).