Nos itens abaixo, use o teorema de Green para calcular a integral integralC F cdot d r ao longo da curva C com orientação no sentido anti-horário.
C e (2,0),(0,3) é o triângulo com vértices em (-2,0) e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointCvec Fcdot dvec r usando o Teorema de Green, onde vec F=(2x^2+3y),vec i+(2x+3y^2),vec j e C é o triângulo com vértices em (2,0),(0,3),(-2,0), orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o conteúdo de integrais de linha em campos planos e o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região D interna a C.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais necessárias: definindo P(x,y)=2x^2+3y e Q(x,y)=2x+3y^2, temos
partial Qpartial x=2, partial Ppartial y=3

Passo 3

Logo, o integrando do Teorema de Green é
partial Qpartial x-partial Ppartial y=2-3=-1

Passo 4

Agora precisamos da área da região D, que é o triângulo de base no eixo x de comprimento 4 (de -2,0 a (2,0)) e altura 3. Assim,
Área(D)=12times4times3=6Á

Passo 5

Finalmente, aplicando o Teorema de Green:
ointCvec Fcdot dvec r=integral duplaD(partialxQ-partialyP),dA=integral duplaD(-1),dA=-1timesÁrea(D)=-6Á

Resposta

-6

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