Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sin (x) sin (4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sin(x),sin(4x),dx
Aqui o conteúdo principal é integração de produto de funções trigonométricas. Como temos um produto de senos com argumentos diferentes, vamos usar a identidade produto-para-soma para transformar em soma de cossenos.

Passo 2

Aplicamos a fórmula
sin(A),sin(B) =tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
com A=x e B=4x. Assim
sin(x),sin(4x) =tfrac12l[cos(x-4x)-cos(x+4x)r] =tfrac12l[cos(-3x)-cos(5x)r]
Como cos(-3x)=cos(3x), fica
sin(x),sin(4x) =tfrac12l[cos(3x)-cos(5x)r]

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral sin(x)sin(4x),dx =tfrac12integrall[cos(3x)-cos(5x)r]dx
Agora integramos termo a termo usando integral cos(kx),dx = tfrac1ksin(kx).

Passo 4

Fazendo as integrais:
tfrac12integralcos(3x),dx =tfrac12cdottfrac13sin(3x) =tfrac16sin(3x),
tfrac12integral(-cos(5x)),dx =-tfrac12cdottfrac15sin(5x) =-tfrac110sin(5x)
Somando e adicionando a constante de integração C, resulta
integral sin(x)sin(4x),dx =tfrac16sin(3x)-tfrac110sin(5x)+C

Resposta

boxedintegral sin(x)sin(4x),dx =tfrac16sin(3x)-tfrac110sin(5x)+C

Exercícios relacionados