Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 2 x e^x^21+e^2 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 2x,e^x^21+e^2x^2,dx
Isso envolve uma função composta e^x^2 no numerador e 1+e^2x^2 no denominador, sugerindo uma substituição que simplifique esse quociente.

Passo 2

Vamos definir a substituição
u = e^x^2
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 2x,e^x^2,dx
Note que o numerador da integral original é exatamente 2x,e^x^2,dx, ou seja, du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 2x,e^x^21+e^2x^2,dx = integral du1+u^2
Agora a integral está na forma conhecida de integral du1+u^2.

Passo 4

A antiderivada de 11+u^2 é arctan(u). Logo,
integral du1+u^2 = arctan(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = e^x^2. Assim, a primitiva final é
arctanl(e^x^2r) + C

Resposta

integral 2x,e^x^21+e^2x^2,dx = arctanl(e^x^2r) + C

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