1. sumn=1^infty(1n-1n^2)^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série
sumn=1^inftyl(1n-1n^2r)^n
O conteúdo principal aqui é estudo de convergência de séries infinitas (usando, por exemplo, o teste da raiz) e, em seguida, soma numérica dos primeiros termos para obter uma boa aproximação.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral:
l(1n-1n^2r)^n =l(1n,(1-tfrac1n)r)^n =l(1nr)^nl(1-tfrac1nr)^n

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz:
limntoinftyraiz[n]l(1n-1n^2r)^n =limntoinfty1nl(1-tfrac1nr) =0<1
Logo a série converge absolutamente.

Passo 4

Para aproximar a soma, calculamos numericamente os primeiros termos:
a1=0, a2=l(tfrac14r)^2=tfrac116approx0,0625, a3=l(tfrac29r)^3=tfrac8729approx0,010974,
a4=l(tfrac316r)^4approx0,001236, a5=l(tfrac425r)^5approx0,000105, a6approx7,17times10^-6,
os termos seguintes já são da ordem de 10^-7 ou menores.

Passo 5

Somando esses valores e desprezando os termos a partir de n=7, obtemos
sumn=1^inftyl(1n-1n^2r)^n approx0,0625+0,010974+0,001236+0,000105+0,0000072 approx0,0748223

Resposta

sumn=1^inftyl(tfrac1n-tfrac1n^2r)^n approx0,0748223

Exercícios relacionados