A segunda derivada é uma função afim, então não há concavidade.
d) Determine um esboço do gráfico destacando os valores de máximo, mínimo locais e pontos de inflexão, se existirem. A= Ponto de máximo (1,4) B= Ponto de inflexão (2,2) C= Ponto de mínimo (3,0)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x e determinar alguns pontos importantes dela. Vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, as concavidades e os pontos de inflexão, e por último, esboçar o gráfico destacando tudo isso. Vamos precisar entender como calcular derivadas e interpretar esses resultados para entender o comportamento da função.
Passo 2
a) Encontrar os pontos críticos
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
b) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da primeira derivada f'(x) .
Expressar a derivada:
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
Fatorar ou usar a análise de sinais:
Já sabemos que f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3) .
Analisar os intervalos com base nos zeros da derivada (x = 1 e x = 3):
Para x < 1 :
Escolha x = 0 :
f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0
A derivada é positiva, então a função está **crescendo**.
Para 1 < x < 3 :
Escolha x = 2 :
f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0
A derivada é negativa, então a função está **decrescendo**.
Para x > 3 :
Escolha x = 4 :
f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0
A derivada é positiva, então a função está **crescendo** novamente.
Resumo:
Crescendo em: (-infty, 1) e (3, +infty)
Decrescendo em: (1, 3)
Passo 4
c) Analisar as concavidades e os pontos de inflexão
Agora, vamos ver como a curva está curvada, ou seja, se ela está “sorrindo” (côncava para cima) ou “chorando” (côncava para baixo), e identificar possíveis pontos de inflexão onde essa concavidade muda.