Considere a função f(x)=x^3-6 x^2+9 x. Determine:
a) Os pontos críticos
l f(x)=x^3-6 x^2+9 x f^prime(x)=3 x^2-12 x+9 3 x^2-12 x+9=0 De<a=b^2-4 cdot a cdot c=(-12)^2-4 cdot 3 cdot 9
De<a=36
Logo, os pontos críticos são
x=-b pm raizDe<a2 a=-(-12) pm raiz362 cdot 3=12 pm 66
(1,4) e (3,0) são pontos da função f(x).
l x1=1 x2=3
b) Intervalos de crescimento e decrescimento (utilizando derivada)
f^prime(x)=underbrace3 x^2a>0-12 x+9
Intervalos de crescimento =(-infty, 1) e (3,+infty)
Intervalos de decrescimento =(1,3)
c) Concavidades e pontos de inflexão
l f^prime(x)=3 x^2-12 x+9 f^prime prime(x)=6 x-12 6 x-12=0 x=126 x=2 f(2)=2^3-6 cdot 2^2+9 cdot 2 y=f(2)=2
A segunda derivada é uma função afim, então não há concavidade.
d) Determine um esboço do gráfico destacando os valores de máximo, mínimo locais e pontos de inflexão, se existirem.
A= Ponto de máximo (1,4)
B= Ponto de inflexão (2,2)
C= Ponto de mínimo (3,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x e determinar alguns pontos importantes dela. Vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, as concavidades e os pontos de inflexão, e por último, esboçar o gráfico destacando tudo isso. Vamos precisar entender como calcular derivadas e interpretar esses resultados para entender o comportamento da função.

Passo 2

a) Encontrar os pontos críticos
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
  1. Calcular a primeira derivada f'(x) :
f'(x) = ddx(x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x^2 - 12x + 9
  1. Encontrar onde f'(x) = 0 :
3x^2 - 12x + 9 = 0
  1. Resolver a equação quadrática:
a = 3, b = -12, c = 9
De<a = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 cdot 3 cdot 9 = 144 - 108 = 36
x = -b pm raizDe<a2a = 12 pm 66
x1 = 186 = 3, x2 = 66 = 1
  1. Encontrar os pontos correspondentes na função:
f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4
f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0
Então, os pontos críticos são (1, 4) e (3, 0) .

Passo 3

b) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da primeira derivada f'(x) .
  1. Expressar a derivada:
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
  1. Fatorar ou usar a análise de sinais:
    Já sabemos que f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3) .
  2. Analisar os intervalos com base nos zeros da derivada (x = 1 e x = 3):
    • Para x < 1 :
      Escolha x = 0 :
f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0
 A derivada é positiva, então a função está **crescendo**.
  • Para 1 < x < 3 :
    Escolha x = 2 :
f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0
 A derivada é negativa, então a função está **decrescendo**.
  • Para x > 3 :
    Escolha x = 4 :
f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0
 A derivada é positiva, então a função está **crescendo** novamente.
Resumo:
  • Crescendo em: (-infty, 1) e (3, +infty)
  • Decrescendo em: (1, 3)

Passo 4

c) Analisar as concavidades e os pontos de inflexão
Agora, vamos ver como a curva está curvada, ou seja, se ela está “sorrindo” (côncava para cima) ou “chorando” (côncava para baixo), e identificar possíveis pontos de inflexão onde essa concavidade muda.
  1. Calcular a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx(f'(x)) = ddx(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12
  1. Encontrar onde f''(x) = 0 para possíveis pontos de inflexão:
6x - 12 = 0 Rightarrow x = 2
  1. Determinar o valor de f(2) :
f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2
Então, o ponto é (2, 2) .
  1. Analisar a concavidade em torno de x = 2 :
    • Para x < 2 , escolha x = 1 :
f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 (Côncava para baixo) ô
  • Para x > 2 , escolha x = 3 :
f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0 (Côncava para cima) ô
Isso indica que em x = 2 há um ponto de inflexão, pois a concavidade muda.
Resumo:
  • Ponto de inflexão em: (2, 2)
  • Concavidade:
    • Para x < 2 : Côncava para baixo
    • Para x > 2 : Côncava para cima

Passo 5

d) Esboçar o gráfico destacando os valores de máximo, mínimo locais e pontos de inflexão
Vamos reunir todas as informações que encontramos para desenhar o gráfico:
  1. Pontos críticos:
    • Máximo local em (1, 4)
    • Mínimo local em (3, 0)
  2. Ponto de inflexão:
    • Em (2, 2)
  3. Comportamento nos intervalos:
    • Cresce antes de x = 1 e depois de x = 3
    • Decresce entre x = 1 e x = 3
    • Mudança de concavidade em x = 2
Como desenhar:
  • Inicie plotando os pontos (1, 4) , (2, 2) e (3, 0) .
  • Conecte esses pontos considerando os intervalos de crescimento e decrescimento.
  • Ajuste a concavidade de acordo com a informação de inflexão.
  • Finalize com setas nas extremidades indicando que a função continua para +infty nos extremos.

Resposta

Pronto! Analisamos a função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x e identificamos:
  • Pontos Críticos: (1, 4) e (3, 0)
  • Intervalos de Crescimento: (-infty, 1) e (3, +infty)
  • Intervalo de Decrescimento: (1, 3)
  • Ponto de Inflexão: (2, 2)
Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da função destacando os máximos, mínimos e o ponto de inflexão.

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