Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-11s^2+3 s

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
1s^2+3s
usando álgebra de frações parciais e o Teorema 7.2.1 (linearidade e tabela de transformadas básicas, como L1=1/s e Le^-3t=1/(s+3)).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e escrevemos uma decomposição em frações parciais:
1s^2+3s=1s(s+3)=As+Bs+3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+3) obtemos
1 = A(s+3)+B,s
Para determinar A e B, basta escolher valores convenientes de s:
  • Se s=0, então 1 = Acdot3 implica A=tfrac13.
  • Se s=-3, então 1 = Bcdot(-3) implica B=-tfrac13.

Passo 4

Substituindo A e B de volta, temos
1s(s+3)=1/3s-1/3s+3 =13,1s-13,1s+3
Pela linearidade e pelo Teorema 7.2.1:
L^-1l1sr=1, L^-1l1s+3r=e^-3t
Logo a transformada inversa é
f(t)=13,1-13,e^-3t =13l(1-e^-3tr)

Resposta

L^-1l1s^2+3sr =13l(1-e^-3tr)

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