Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{x \sqrt{x}}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada indefinida da função composta por potências de x:
\int\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}}{3}\Bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a regra da potência para integração, que diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Para aplicar a regra da potência, primeiro reescrevemos cada termo como potência de x:
\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\tfrac12}, \qquad \frac{x\sqrt{x}}{3} = \frac{1}{3}\,x^{1+\tfrac12} = \frac{1}{3}\,x^{\tfrac32}.
Assim o integrando fica
\int\Bigl(x^{-\tfrac12} + \tfrac{1}{3}\,x^{\tfrac32}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência a cada termo:
Para x^{-\tfrac12}:
\int x^{-\tfrac12}\,dx = \frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,x^{\tfrac12}.
Para \tfrac{1}{3}x^{\tfrac32}:
\int \tfrac{1}{3}\,x^{\tfrac32}\,dx = \tfrac{1}{3}\,\frac{x^{\tfrac32+1}}{\tfrac32+1} = \tfrac{1}{3}\,\frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} = \tfrac{1}{3}\,\frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} = \frac{2}{15}\,x^{\tfrac52}.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos:
2\,x^{\tfrac12} + \frac{2}{15}\,x^{\tfrac52} + C.

Resposta

2\sqrt{x} + \frac{2}{15}x^{\tfrac52} + C

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