Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(9 t^{2}+\frac{1}{\sqrt{t^{3}}}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\Bigl(9\,t^{2}+\frac{1}{\sqrt{t^{3}}}\Bigr)\,dt.
O conteúdo principal aqui é a regra de potência para integrais do tipo \int t^{n}\,dt.

Passo 2

Reescrevemos o segundo termo do integrando usando expoentes:
\frac{1}{\sqrt{t^{3}}} = t^{-\tfrac{3}{2}}.
Portanto
\int\Bigl(9\,t^{2}+\tfrac{1}{\sqrt{t^{3}}}\Bigr)\,dt = \int 9\,t^{2}\,dt \;+\;\int t^{-\tfrac{3}{2}}\,dt.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência \displaystyle \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1) a cada termo:
\int 9\,t^{2}\,dt = 9 \cdot \frac{t^{3}}{3} = 3\,t^{3},
\int t^{-\tfrac{3}{2}}\,dt = \frac{t^{-\tfrac{3}{2}+1}}{-\tfrac{3}{2}+1} = \frac{t^{-\tfrac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}} = -2\,t^{-\tfrac{1}{2}}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva:
3\,t^{3} - 2\,t^{-\tfrac{1}{2}} + C.

Resposta

3\,t^{3} - \frac{2}{\sqrt{t}} + C.

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