Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(\sqrt{2 y}-\frac{1}{\sqrt{2 y}}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de
\int\Bigl(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}}\Bigr)\,dy.
O conteúdo é integração de potências de y. Vamos usar a regra
\int y^n\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1,
aplicada termo a termo.

Passo 2

Primeiro, expressamos cada termo como potência de y:
\sqrt{2y}=(2y)^{\tfrac12}=2^{\tfrac12}\,y^{\tfrac12}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2y}}=(2y)^{-\tfrac12}=2^{-\tfrac12}\,y^{-\tfrac12}.
Logo o integrando fica
2^{\tfrac12}\,y^{\tfrac12}-2^{-\tfrac12}\,y^{-\tfrac12}.

Passo 3

Agora integramos cada parcela:
Para \displaystyle 2^{\tfrac12}y^{\tfrac12}:
\int 2^{\tfrac12}y^{\tfrac12}\,dy =2^{\tfrac12}\,\frac{y^{\tfrac32}}{\tfrac32} =\frac{2^{\tfrac12}\cdot2}{3}\,y^{\tfrac32} =\frac{2^{\tfrac32}}{3}\,y^{\tfrac32}.
Para \displaystyle -2^{-\tfrac12}y^{-\tfrac12}:
\int -2^{-\tfrac12}y^{-\tfrac12}\,dy =-2^{-\tfrac12}\,\frac{y^{\tfrac12}}{\tfrac12} =-2^{-\tfrac12}\cdot2\,y^{\tfrac12} =-2^{\tfrac12}\,y^{\tfrac12}.

Passo 4

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\frac{2^{\tfrac32}}{3}\,y^{\tfrac32} -2^{\tfrac12}\,y^{\tfrac12} + C.
Podemos também reescrever em termos de \sqrt{2y}. Note que \;2^{\tfrac32}y^{\tfrac32}=2y\sqrt{2y}; e; 2^{\tfrac12}y^{\tfrac12}=\sqrt{2y}. Então
\frac{2y\sqrt{2y}}{3}-\sqrt{2y}+C.

Resposta

\int\Bigl(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}}\Bigr)\,dy =\frac{2^{\tfrac32}}{3}\,y^{\tfrac32} -2^{\tfrac12}\,y^{\tfrac12} + C
ou equivalentemente
\frac{2y\sqrt{2y}}{3}-\sqrt{2y}+C.

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