Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(2 x^{2}-3\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função \displaystyle (2x^{2}-3)^{2}. O conteúdo é integração de polinômios: vamos primeiro expandir o quadrado e depois usar a regra de potência para integrar termo a termo.

Passo 2

Expandimos o integrando usando \,(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}:
(2x^{2}-3)^{2} = (2x^{2})^{2} - 2\cdot(2x^{2})\cdot3 + 3^{2} = 4x^{4} - 12x^{2} + 9.

Passo 3

Agora integramos cada monômio separadamente:
\int 4x^{4}\,dx = 4\cdot \frac{x^{5}}{5} = \frac{4}{5}x^{5},
\int -12x^{2}\,dx = -12\cdot \frac{x^{3}}{3} = -4x^{3},
\int 9\,dx = 9x.

Resposta

\int (2x^{2}-3)^{2}\,dx = \frac{4}{5}x^{5} - 4x^{3} + 9x + C.

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