\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{k}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\,\frac{k}{3^{k}}.
O conteúdo principal aqui é soma de séries de potências e usaremos a fórmula para \sum_{k=1}^{\infty}k\,x^{k} válida quando \lvert x\rvert<1.

Passo 2

Lembrando que para \lvert x\rvert<1 vale
\sum_{k=1}^{\infty}x^{k}=\frac{x}{1-x}.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
\sum_{k=1}^{\infty}k\,x^{k-1} =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{1-x}\Bigr) =\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando por x, fica
\sum_{k=1}^{\infty}k\,x^{k} =\frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

No nosso caso o termo geral é
(-1)^{k+1}\,\frac{k}{3^{k}} =-\,k\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^{k}.
Logo, definindo x=-\tfrac13, a série desejada é
S=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\,\frac{k}{3^{k}} =-\sum_{k=1}^{\infty}k\,x^{k}.

Passo 5

Aplicando a fórmula para \sum k\,x^{k} em x=-\tfrac13, temos
\sum_{k=1}^{\infty}k\,x^{k} =\frac{x}{(1-x)^{2}} =\frac{-\tfrac13}{\bigl(1-(-\tfrac13)\bigr)^{2}} =\frac{-\tfrac13}{\bigl(\tfrac43\bigr)^{2}} =\frac{-\tfrac13}{\tfrac{16}{9}} =-\frac{9}{48} =-\frac{3}{16}.
Então
S=-\Bigl(-\frac{3}{16}\Bigr) =\frac{3}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{16}

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