Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} e^{-k}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}e^{-k}
e queremos verificar se ela converge usando o critério de séries alternadas (Leibniz).

Passo 2

Definimos o termo geral positivo
a_k = e^{-k}.
Observamos que para todo k\ge1:
  1. a_k>0.
  2. a_{k+1} = e^{-(k+1)} = e^{-k}\,e^{-1} = a_k\,e^{-1}, e como e^{-1}<1, segue a_{k+1}<a_k. Ou seja, (a_k) é estritamente decrescente.
\lim_{k\to\infty}a_k = \lim_{k\to\infty}e^{-k} = 0.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz para séries alternadas, se (a_k) é decrescente e tende a zero, então
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}a_k
converge. Logo a série dada converge.

Passo 4

Para reforçar, analisamos a convergência absoluta:
\sum_{k=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{k+1}e^{-k}\bigr| = \sum_{k=1}^{\infty}e^{-k},
que é uma série geométrica com razão r=e^{-1}<1. Portanto essa série converge, o que implica convergência absoluta da original.

Resposta

A série converge (na verdade converge absolutamente) pelo critério de Leibniz e pela convergência da série geométrica de razão e^{-1}.

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