Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a série alternada
e queremos verificar se ela converge usando o critério de séries alternadas (Leibniz).
Passo 2
Definimos o termo geral positivo
Observamos que para todo
:
-
. -
, e como , segue . Ou seja, é estritamente decrescente.
Passo 3
Pelo critério de Leibniz para séries alternadas, se
é decrescente e tende a zero, então
converge. Logo a série dada converge.
Passo 4
Para reforçar, analisamos a convergência absoluta:
que é uma série geométrica com razão
. Portanto essa série converge, o que implica convergência absoluta da original.
Resposta
A série converge (na verdade converge absolutamente) pelo critério de Leibniz e pela convergência da série geométrica de razão
.