Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A integrand é a soma de duas funções:
e . - A integral é indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
. - Note que
é equivalente a (isso facilita aplicar regras de potência).
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
Isto permite tratar cada termo separadamente — uma ideia simples e muito útil na prova: quebre somas em pedaços menores.
Passo 3
Aplico a regra da potência para integrais. A regra diz:
Aqui
é o expoente da potência de
. Essa fórmula vem do processo inverso da derivação de
. Observação: quando
a fórmula não vale e usamos
, mas não é o caso aqui.
Para o primeiro termo
, tomo
. Aplicando a fórmula:
Passo 4
Para o segundo termo, escrevemos
. Agora
, e como
podemos usar a mesma regra:
Podemos reescrever isso de forma mais legível:
Passo 5
Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando o resultado deve voltar o integrando.
Derivadas:
Derivadas:
Somando dá exatamente
, portanto a primitiva está correta.