Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(1,0 \mathrm{pts}) \int\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A integrand é a soma de duas funções: x^{3} e \dfrac{1}{x^{3}}.
  • A integral é indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.
  • Note que \dfrac{1}{x^{3}} é equivalente a x^{-3} (isso facilita aplicar regras de potência).

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx = \int x^{3}\,dx + \int \frac{1}{x^{3}}\,dx.
Isto permite tratar cada termo separadamente — uma ideia simples e muito útil na prova: quebre somas em pedaços menores.

Passo 3

Aplico a regra da potência para integrais. A regra diz:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1.
Aqui n é o expoente da potência de x. Essa fórmula vem do processo inverso da derivação de x^{n}. Observação: quando n=-1 a fórmula não vale e usamos \int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C, mas não é o caso aqui.
Para o primeiro termo x^{3}, tomo n=3. Aplicando a fórmula:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}=\frac{x^{4}}{4}.

Passo 4

Para o segundo termo, escrevemos \dfrac{1}{x^{3}}=x^{-3}. Agora n=-3, e como n\neq -1 podemos usar a mesma regra:
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-3+1}}{-3+1}=\frac{x^{-2}}{-2}.
Podemos reescrever isso de forma mais legível:
\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 5

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx=\frac{x^{4}}{4}-\frac{1}{2x^{2}}+C.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando o resultado deve voltar o integrando.
Derivadas:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{4}\right)=x^{3}, \qquad \frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right)=-\frac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3}=x^{-3}=\frac{1}{x^{3}}.
Somando dá exatamente x^{3}+\dfrac{1}{x^{3}}, portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{1}{2x^{2}}+C

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