Em relação ao mínimo absoluto da função f(x)=43 x^3+2 x^2-3 x no intervalo [-3,-1] podemos afirmar que:
Escolha uma opção:a. f possui mínimo absoluto em x=-3b. f possui mínimo absluto em x=12c. f possui mínimo absoluto em x=-1d. f possui mínimo absoluto em x=-32e. f não possui mínimo absoluto no intervalo [-3,-1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre encontrar o mínimo absoluto da função $ f(x) = \frac{4}{3}x^{3} + 2x^{2} - 3x $ no intervalo f(x) = 43x^3 + 2x^2 - 3x . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos da função e avaliar onde ela atinge seu menor valor nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, chamados de pontos críticos.
A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de $ x $ que tornam a derivada igual a zero, ou seja, resolveremos a equação:
x
Para resolver essa equação do segundo grau, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
4x^2 + 4x - 3 = 0
Onde $ a = 4 $, $ b = 4 $ e $ c = -3 $. Substituindo esses valores:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Isso nos dá duas soluções:
a = 4

Passo 4

Agora, precisamos verificar quais desses pontos críticos estão dentro do intervalo [-3, -1]. Olhando para as soluções:
  • $ x = \frac{1}{2} $ não está no intervalo.
  • $ x = -\frac{3}{2} $ está dentro do intervalo.
Então, vamos considerar apenas $ x = -\frac{3}{2} $.

Passo 5

Para encontrar o mínimo absoluto, também precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo, ou seja, em $ x = -3 $ e $ x = -1 $.
Vamos calcular $ f $ nesses três pontos:
  1. Para $ x = -3 $:
x = -3
  1. Para $ x = -\frac{3}{2} $:
x = -1
  1. Para $ x = -1 $:
f

Passo 6

Comparando os valores obtidos:
  • $ f(-3) = -9 $
  • $ f\left(-\frac{3}{2}\right) = 4.5 $
  • $ f(-1) \approx 1.666 $
O menor valor é $ -9 $, que ocorre em $ x = -3 $.

Resposta

A resposta correta é a letra a. $ f $ possui mínimo absoluto em $ x = -3 $.

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