Em relação ao mínimo absoluto da função
no intervalo
podemos afirmar que:
Escolha uma opção:a.
possui mínimo absoluto em
b.
possui mínimo absluto em
c.
possui mínimo absoluto em
d.
possui mínimo absoluto em
e.
não possui mínimo absoluto no intervalo
Escolha uma opção:a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre encontrar o mínimo absoluto da função $ f(x) = \frac{4}{3}x^{3} + 2x^{2} - 3x $ no intervalo
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos da função e avaliar onde ela atinge seu menor valor nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, chamados de pontos críticos.
A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de $ x $ que tornam a derivada igual a zero, ou seja, resolveremos a equação:
Para resolver essa equação do segundo grau, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 4 $, $ b = 4 $ e $ c = -3 $. Substituindo esses valores:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Agora, precisamos verificar quais desses pontos críticos estão dentro do intervalo
. Olhando para as soluções:
- $ x = \frac{1}{2} $ não está no intervalo.
- $ x = -\frac{3}{2} $ está dentro do intervalo.
Então, vamos considerar apenas $ x = -\frac{3}{2} $.
Passo 5
Para encontrar o mínimo absoluto, também precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo, ou seja, em $ x = -3 $ e $ x = -1 $.
Vamos calcular $ f $ nesses três pontos:
- Para $ x = -3 $:
- Para $ x = -\frac{3}{2} $:
- Para $ x = -1 $:
Passo 6
Comparando os valores obtidos:
- $ f(-3) = -9 $
- $ f\left(-\frac{3}{2}\right) = 4.5 $
- $ f(-1) \approx 1.666 $
O menor valor é $ -9 $, que ocorre em $ x = -3 $.
Resposta
A resposta correta é a letra a. $ f $ possui mínimo absoluto em $ x = -3 $.