Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Primeiro, resumimos que a EDO dada é de quinta ordem com coeficientes constantes:
queremos achar a solução geral de
y^{(5)} - 4y^{(3)} = 32e^{2x},
utilizando o método de variação de parâmetros.
Para simplificar, vamos introduzir redução de ordem definindo uma nova função u = y’’’.
queremos achar a solução geral de
y^{(5)} - 4y^{(3)} = 32e^{2x},
utilizando o método de variação de parâmetros.
Para simplificar, vamos introduzir redução de ordem definindo uma nova função u = y’’’.
Passo 2
No segundo passo, definimos
u = y’’’
e obtemos, diferenciando duas vezes, que
u’’ - 4u = 32e^{2x}.
u = y’’’
e obtemos, diferenciando duas vezes, que
u’’ - 4u = 32e^{2x}.
Passo 3
No terceiro passo, resolvemos a parte homogênea
u’’ - 4u = 0.
A equação característica é r^2 - 4 = 0, com raízes r = 2 e r = -2,
logo
u_h = C e^{2x} + D e^{-2x}.
u’’ - 4u = 0.
A equação característica é r^2 - 4 = 0, com raízes r = 2 e r = -2,
logo
u_h = C e^{2x} + D e^{-2x}.
Passo 4
No quarto passo, aplicamos variação de parâmetros em
u’’ - 4u = 32e^{2x}.
Tomamos as soluções fundamentais v_1 = e^{2x}, v_2 = e^{-2x} e calculamos o Wronskiano
W = egin{vmatrix}e^{2x} & e{-2x}\2e{2x} & -2e^{-2x}\end{vmatrix} = -4.
Pelas fórmulas de variação de parâmetros, obtemos
u_p = -v_1,\int \frac{v_2,g}{W},dx + v_2,\int \frac{v_1,g}{W},dx = 8x e^{2x} - 2e^{2x}.
Como o termo -2e^{2x} pertente à homogênea, basta
u_p = 8x e^{2x}.
u’’ - 4u = 32e^{2x}.
Tomamos as soluções fundamentais v_1 = e^{2x}, v_2 = e^{-2x} e calculamos o Wronskiano
W = egin{vmatrix}e^{2x} & e{-2x}\2e{2x} & -2e^{-2x}\end{vmatrix} = -4.
Pelas fórmulas de variação de parâmetros, obtemos
u_p = -v_1,\int \frac{v_2,g}{W},dx + v_2,\int \frac{v_1,g}{W},dx = 8x e^{2x} - 2e^{2x}.
Como o termo -2e^{2x} pertente à homogênea, basta
u_p = 8x e^{2x}.
Passo 5
No quinto passo, escrevemos
u = y’’’ = C e^{2x} + D e^{-2x} + 8x e^{2x}.
Em seguida, integramos essa expressão três vezes, introduzindo a cada integração uma nova constante de integração.
Esse processo gera, ao fim, cinco constantes livres associadas a soluções homogêneas de y e o termo particular proveniente de 8x e^{2x}.
u = y’’’ = C e^{2x} + D e^{-2x} + 8x e^{2x}.
Em seguida, integramos essa expressão três vezes, introduzindo a cada integração uma nova constante de integração.
Esse processo gera, ao fim, cinco constantes livres associadas a soluções homogêneas de y e o termo particular proveniente de 8x e^{2x}.
Passo 6
No sexto passo, concluímos que a solução geral de y reúne cinco constantes de integração e combina termos polinomiais de grau até 2, expoenciais de argumento ±2x, mais o termo particular x e^{2x} obtido da redução de ordem e variação de parâmetros.
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x{2}+C_{4}e{2x}+C_{5}e^{-2x}+x e^{2x}