Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \r
\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx \r
usando substituição de variável. O conteúdo principal é manipular frações e usar substituições apropriadas para integrar termos envolvendo exponenciais.

Passo 2

Observe que podemos reescrever o integrando como\r
\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\r =\frac{(e^{2x}+1)-2}{e^{2x}+1}\r =1-\frac{2}{e^{2x}+1}.\r
Logo,\r
\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx\r =\int 1\,dx-2\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx\r =x-2\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx + C_1.

Passo 3

Para calcular \r
\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx,\r
façamos a substituição \displaystyle u=e^{x}. Então \,du=e^{x}\,dx e e^{2x}=(e^x)^2=u^2. Além disso dx=\frac{du}{u}. Assim\r
\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx\r =\int \frac{1}{u^2+1}\cdot\frac{du}{u}\r =\int \frac{1}{u(u^2+1)}\,du.

Passo 4

Vamos decompor em frações parciais\r
\frac{1}{u(u^2+1)}=\frac{A}{u}+\frac{Bu+C}{u^2+1}.\r
Multiplicando por u(u^2+1)\) vem\r \[1=A(u^2+1)+(Bu+C)u=(A+B)u^2+Cu+A.\r
Comparando coeficientes:\r
\begin{cases} A+B=0,\\\ C=0,\\\ A=1, \end{cases}
logo A=1\], \(B=-1, C=0. Portanto\r
\frac{1}{u(u^2+1)}=\frac{1}{u}-\frac{u}{u^2+1}.

Passo 5

Integramos termo a termo:\r
\int \frac{1}{u(u^2+1)}\,du =\int \frac{1}{u}\,du-\int \frac{u}{u^2+1}\,du =\ln|u|-\frac{1}{2}\ln\bigl(u^2+1\bigr)+C_2.\r
Voltando a x, temos u=e^x>0, então \ln|u|=x e u^2+1=e^{2x}+1. Assim\r
\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx =x-\frac12\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr)+C_2.

Passo 6

Substituindo na expressão do Passo 2:\r
\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx =x-2\Bigl[x-\tfrac12\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr)\Bigr]+C =-x+\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr)+C.

Resposta

\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr)-x + C.

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