Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \sqrt{\frac{x-1}{x^{5}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sqrt{\frac{x-1}{x^{5}}}\,dx.
O conteúdo principal é o método de substituição de variável para integrar funções envolvendo raízes e potências de x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando de forma a separar um fator que seja exatamente a derivada de outra expressão:
\sqrt{\frac{x-1}{x^{5}}} = \frac{\sqrt{x-1}}{x^{5/2}} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}\,x^{2}} = x^{-2}\,\sqrt{\frac{x-1}{x}} = x^{-2}\,\sqrt{1-\frac{1}{x}}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 1 - \frac{1}{x},
de onde
du = \frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{-2}\,dx = du.
Assim, a integral original vira
\int x^{-2}\,\sqrt{1-\tfrac{1}{x}}\,dx = \int \sqrt{u}\;du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 1 - \tfrac1x:
\frac{2}{3}\,\biggl(1-\frac{1}{x}\biggr)^{3/2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\bigl(1-\frac{1}{x}\bigr)^{3/2} + C

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