Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
.
.
Passo 1
O enunciado pede
Usaremos o método da substituição para eliminar as raízes. Perceba que aparecem
e
dentro de outra raiz, então é natural tentar
Isso transforma as raízes em funções racionais de
.
Passo 2
Defina
Diferenciando,
Além disso,
Passo 3
Agora expresse as raízes em função de
:
Portanto o denominador
fica
fica
E
.
Passo 4
Substituindo tudo no integrando, obtemos
Passo 5
Observe que
. Faça a substituição
logo
. Reescrevendo
e como
, tem-se
Mas
, então
. Assim
Para simplificar ainda mais, recomenda-se agrupar as duas raízes e reconhecer a derivada de
. No fim, chega-se ao resultado elementar
Passo 6
Volte as substituições:
logo
Portanto a primitiva final é
Resposta
que se pode também combinar em