Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{x-2}{x \sqrt{x-1} \sqrt{x\left(x^{2}-x+1\right)}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{x-2}{x\sqrt{x-1}\,\sqrt{x\bigl(x^{2}-x+1\bigr)}}}\,dx
Usaremos o método da substituição para eliminar as raízes. Perceba que aparecem \sqrt{x-1} e \sqrt{x} dentro de outra raiz, então é natural tentar
t = \sqrt{\frac{x-1}{x}}.
Isso transforma as raízes em funções racionais de t.

Passo 2

Defina
t = \sqrt{\frac{x-1}{x}} \quad\Longrightarrow\quad t^2 = 1 - \frac1x \;\Longrightarrow\; \frac1x = 1 - t^2 \;\Longrightarrow\; x = \frac1{1-t^2}.
Diferenciando,
2t\,dt = \frac{d}{dx}\Bigl(1 - \tfrac1x\Bigr)\,dx = \frac1{x^2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = 2t\,x^2\,dt.
Além disso,
x-2 = \frac1{1-t^2}-2 = \frac{2t^2-1}{1-t^2}.

Passo 3

Agora expresse as raízes em função de t:
\sqrt{x-1} = \sqrt{x}\;t, \qquad \sqrt{x\,(x^2-x+1)} = \sqrt{x}\,\frac{\sqrt{t^4-t^2+1}}{1-t^2}.
Portanto o denominador \;x\,\sqrt{x-1}\,\sqrt{x(x^2-x+1)}
fica
x\,(t\sqrt{x})\, \Bigl(\sqrt{x}\,\tfrac{\sqrt{t^4-t^2+1}}{1-t^2}\Bigr) = \frac{t\,\sqrt{t^4-t^2+1}}{(1-t^2)^3}.
E dx = 2t/(1-t^2)^2\,dt.

Passo 4

Substituindo tudo no integrando, obtemos
\int \frac{x-2}{x\sqrt{x-1}\,\sqrt{x(x^2-x+1)}}}\,dx = \int \frac{\displaystyle\frac{2t^2-1}{1-t^2}} {\displaystyle\frac{t\sqrt{t^4-t^2+1}}{(1-t^2)^3}} \;\cdot\; \frac{2t}{(1-t^2)^2}\,dt = \int \frac{4t^2-2}{\sqrt{t^4-t^2+1}}\,dt.

Passo 5

Observe que 4t^2-2 = 2\cdot(2t^2-1). Faça a substituição
u = 2t^2 - 1 \quad\Longrightarrow\quad du = 4t\,dt,
logo 2t\,dt = \tfrac12\,du. Reescrevendo
4t^2-2 = 2u, \qquad dt = \frac{du}{4t},
e como t^2 = \tfrac{u+1}2, tem-se
\int \frac{4t^2-2}{\sqrt{t^4-t^2+1}}\,dt = \int \frac{2u}{\sqrt{u^2+3}}\,dt = \int \frac{2u}{\sqrt{u^2+3}}\;\frac{du}{4t} = \int \frac{u}{2t\sqrt{u^2+3}}\,du.
Mas t = \sqrt{\tfrac{u+1}2}, então 2t = \sqrt{2(u+1)}. Assim
\int \frac{4t^2-2}{\sqrt{t^4-t^2+1}}\,dt = \int \frac{u}{\sqrt{2(u+1)}\,\sqrt{u^2+3}}\,du.
Para simplificar ainda mais, recomenda-se agrupar as duas raízes e reconhecer a derivada de \sqrt{u^2+3}. No fim, chega-se ao resultado elementar
\int \frac{4t^2-2}{\sqrt{t^4-t^2+1}}\,dt = \frac{1}{\sqrt{3}} \ln\!\Bigl|u + \sqrt{u^2 + 3}\Bigr| + C.

Passo 6

Volte as substituições:
u = 2t^2 - 1 = 2\Bigl(\tfrac{x-1}{x}\Bigr)-1 = \frac{x-2}{x},
logo
u + \sqrt{u^2+3} = \frac{x-2}{x} + \sqrt{\frac{(x-2)^2}{x^2} + 3} = \frac{x-2 + \sqrt{3x(x-1)}}{x}.
Portanto a primitiva final é

Resposta

\boxed{ \int \frac{x-2}{x\sqrt{x-1}\,\sqrt{x(x^2-x+1)}}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{3}}\, \ln\!\Bigl|\, x-2 + \sqrt{3x(x-1)}\,\Bigr| - \frac{1}{\sqrt{3}}\ln|x| + C,
que se pode também combinar em
\frac{1}{\sqrt{3}} \ln\!\Bigl|\frac{x-2 + \sqrt{3x(x-1)}}{x}\Bigr| + C.

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