Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{1}{1+\cos ^{2} x} d x.

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral
\int \frac{1}{1+\cos^2 x}\,dx
usando o método de substituição de variável. Como o denominador envolve \cos^2 x, a ideia é introduzir uma função cuja derivada traga termos como \operatorname{sec}^2 x ou 1+\tan^2 x, para simplificar essa forma.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan x, \quad du = \operatorname{sec}^2 x\,dx
e lembramos também que
\operatorname{sec}^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + u^2
e
\cos^2 x = \frac{1}{\operatorname{sec}^2 x} = \frac{1}{1+u^2}.
Isolando dx, temos
dx = \frac{du}{\operatorname{sec}^2 x} = \frac{du}{1+u^2}.

Passo 3

Substituímos na integral original:
1 + \cos^2 x = 1 + \frac{1}{1+u^2} = \frac{(1+u^2) + 1}{1+u^2} = \frac{u^2 + 2}{1+u^2}.
Logo,
\int \frac{1}{1+\cos^2 x}\,dx = \int \frac{1}{\frac{u^2+2}{1+u^2}}\;\frac{du}{1+u^2} = \int \frac{1+u^2}{u^2+2}\;\frac{du}{1+u^2} = \int \frac{du}{u^2 + 2}.

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão
\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C.
Aqui a^2 = 2, logo a = \sqrt{2}. Então
\int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{u}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, lembramos que u = \tan x. Portanto a primitiva é
\frac{1}{\sqrt{2}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{1}{1+\cos^2 x}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.}

Exercícios relacionados