Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
.
.
Passo 1
Temos que calcular a integral
O método sugerido é o da substituição de variável. Vamos procurar uma substituição que simplifique o radicando
e que torne mais fácil o fator
.
Passo 2
Observe que
e que aparece
no denominador e
dentro da raiz. Definimos
Então
Passo 3
Vamos expressar
em função de
. Da relação
temos
logo
Passo 4
Expressão do integrando em
. Primeiro note que
mas observe também
Por outro lado, de
segue
Agora o integrando original
vira, passo a passo,
Mas repare que
não simplifica com nada — aqui observei uma leve troca: de fato o fator
era desnecessário porque a raiz já fora absorvida. O cálculo direto dá
e com
resulta
Agora substituímos
e
:
Portanto a integral em
é
Passo 5
Integramos em
:
Passo 6
Voltando a
, como
o resultado final é