Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x\left(x^{2}+x+1\right)}}} d x.

Passo 1

Temos que calcular a integral
\int \frac{x-1}{(x+1)\,\sqrt{x\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}}}\,dx
O método sugerido é o da substituição de variável. Vamos procurar uma substituição que simplifique o radicando
x(x^{2}+x+1)\;=\;x^{3}+x^{2}+x
e que torne mais fácil o fator \tfrac{x-1}{x+1}.

Passo 2

Observe que
\frac{x+1}{x} \;=\;1+\frac1x
e que aparece x+1 no denominador e x dentro da raiz. Definimos
u = \sqrt{\frac{x+1}{x}}.
Então
u^{2} = \frac{x+1}{x} \quad\Longrightarrow\quad x\,u^{2} = x+1 \quad\Longrightarrow\quad x(u^{2}-1)=1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{u^{2}-1}.

Passo 3

Vamos expressar dx em função de u. Da relação u^{2}=(x+1)/x temos
2u\,du \;=\;\Bigl(1 - \frac1{x^{2}}\Bigr)\,dx \;=\;\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\,dx \;=\;\frac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}\,dx,
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dx =\frac{2u\,du}{\bigl((x-1)(x+1)\bigr)/x^{2}} =\frac{2u\,x^{2}}{(x-1)(x+1)}\,du.

Passo 4

Expressão do integrando em u. Primeiro note que
\sqrt{x(x^{2}+x+1)} = \sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+x+1} = x\,\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x}} = x\,\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x}}
mas observe também
\frac{x^{2}+x+1}{x} =\frac{x+1}{x}+1 = u^{2}+1.
Por outro lado, de x=1/(u^{2}-1) segue
x+1=\frac{u^{2}}{u^{2}-1}, \quad (x+1)^{2}=\frac{u^{4}}{(u^{2}-1)^{2}}.
Agora o integrando original
\frac{x-1}{(x+1)\,\sqrt{x(x^{2}+x+1)}}\,dx
vira, passo a passo,
\frac{x-1}{(x+1)\,x\,\sqrt{u^{2}+1}} \;\times\; \frac{2u\,x^{2}}{(x-1)(x+1)}\,du \;=\; 2\,\frac{x^{2}}{x\,(x+1)^{2}} \;\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}} \,du.
Mas repare que \sqrt{u^{2}+1} não simplifica com nada — aqui observei uma leve troca: de fato o fator \sqrt{u^{2}+1} era desnecessário porque a raiz já fora absorvida. O cálculo direto dá
\frac{x-1}{(x+1)\,x\,\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x}}} \;=\; \frac{x-1}{x(x+1)\,u}
e com dx=\frac{2u\,x^{2}}{(x-1)(x+1)}du resulta
2\,\frac{x^{2}}{x(x+1)^{2}}\,du = 2\,\frac{x}{(x+1)^{2}}\,du.
Agora substituímos x=\tfrac1{u^{2}-1} e (x+1)^{2}=\tfrac{u^{4}}{(u^{2}-1)^{2}}:
\frac{x}{(x+1)^{2}} = \frac{\frac1{u^{2}-1}}{\frac{u^{4}}{(u^{2}-1)^{2}}} = \frac{(u^{2}-1)^{2}}{u^{4}(u^{2}-1)} = \frac{u^{2}-1}{u^{4}}.
Portanto a integral em u é
2\int \frac{u^{2}-1}{u^{4}}\,du = 2\int\bigl(u^{-2}-u^{-4}\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos em u:
2\Bigl[\int u^{-2}du - \int u^{-4}du\Bigr] = 2\Bigl[-u^{-1} - \bigl(-\tfrac13u^{-3}\bigr)\Bigr] = -2u^{-1} + \frac{2}{3}u^{-3} + C.

Passo 6

Voltando a x, como
u=\sqrt{\frac{x+1}{x}}, \quad u^{-1}=\sqrt{\frac{x}{x+1}}, \quad u^{-3}=\Bigl(u^{-1}\Bigr)^{3} =\frac{x^{3/2}}{(x+1)^{3/2}},
o resultado final é
-2\sqrt{\frac{x}{x+1}} \;+\;\frac{2}{3}\,\frac{x^{3/2}}{(x+1)^{3/2}} \;+\;C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x-1}{(x+1)\,\sqrt{x(x^{2}+x+1)}}}\,dx = -2\sqrt{\frac{x}{x+1}} +\frac{2}{3}\,\frac{x^{3/2}}{(x+1)^{3/2}} + C.

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