Calcule as seguintes integrais indefinidas e mostre que o resultado está correto
integral senh(x)e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: integral senh(x)e^-2 x , dx. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrando funções hiperbólicas e exponenciais. Para isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Sabemos que:
senh(x) = e^x - e^-x2
Então, substituindo na integral:
integral e^x - e^-x2e^-2 x , dx = 12 integral e^x - e^-xe^-2 x , dx

Passo 3

Agora, simplificamos a divisão dos exponentes. Lembrando que e^ae^b = e^a - b, temos:
e^xe^-2x = e^x + 2x = e^3x
e^-xe^-2x = e^-x + 2x = e^x
Então, a integral fica:
12 integral ( e^3x - e^x ) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de e^kx em relação a x é 1k e^kx. Aplicando isso:
12 ( 13 e^3x - 11 e^x ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Simplificando os coeficientes:
16 e^3x - 12 e^x + C

Passo 6

Agora, vamos verificar se a nossa resposta está correta diferenciando-a e vendo se chega de volta à função inicial.
A derivada de 16 e^3x é 16 cdot 3 e^3x = 12 e^3x.
A derivada de -12 e^x é -12 e^x.
Então, a derivada total é:
12 e^3x - 12 e^x
Lembrando que:
senh(x)e^-2x = e^x - e^-x2e^-2x = 12(e^3x - e^x)
Conferimos que a derivada da nossa resposta é igual à função que estávamos integrando.

Resposta

integral senh(x)e^-2 x , dx = 16 e^3x - 12 e^x + C

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