Calcule as seguintes integrais indefinidas e mostre que o resultado está correto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrando funções hiperbólicas e exponenciais. Para isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar regras básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:
Passo 3
Agora, simplificamos a divisão dos exponentes. Lembrando que
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Agora, vamos verificar se a nossa resposta está correta diferenciando-a e vendo se chega de volta à função inicial.
A derivada de
é
.
A derivada de
é
.
Então, a derivada total é:
Lembrando que:
Conferimos que a derivada da nossa resposta é igual à função que estávamos integrando.