Nos Exercs. 3 a 8, obtenha as séries de Laurent das funçōes dadas, nas situações indicadas.
f(z)=z^5 e^1 / z, z0=0, |z|>0.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=z^5e^1/z
em torno de z0=0, válida para 0<|z|<infty.
O conteúdo principal é a expansão em série de Laurent, que aqui se obtém usando a expansão de Taylor de exp(w) com w=1/z.

Passo 2

Lembrando que
e^w=sumn=0^inftyw^nn!,
válido para todo w, fazemos w=1/z. Assim
e^1/z=sumn=0^infty1n!,1z^n

Passo 3

Multiplicamos essa expansão por z^5:
z^5e^1/z = z^5sumn=0^infty1n!,z^-n = sumn=0^infty1n!,z^5-n

Passo 4

Para deixar mais explícito, podemos escrever os primeiros termos:
z^5e^1/z = z^5 + z^4 + 12!,z^3 + 13!,z^2 + 14!,z + 15! + 16!,z^-1 + 17!,z^-2 + cdots
Essa é a série de Laurent em potências inteiras de z, com termos positivos e negativos, válida para 0<|z|<infty.

Resposta

z^5e^1/z = sumn=0^infty1n!,z^5-n

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